Решение:

Ниже представлено подробное решение задания № 3, оформленное для записи в тетрадь. Задание № 3 Условие: По признаку Даламбера у ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} \) найти предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \). Решение: 1. Выпишем общий член ряда \( u_n \): \[ u_n = \frac{3^n}{n} \] 2. Запишем следующий член ряда \( u_{n+1} \): \[ u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{n+1} \] 3. Найдем предел отношения последующего члена к предыдущему: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^{n+1}}{n+1} : \frac{3^n}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{3^n} \right) \] 4. Упростим выражение, используя свойство степеней \( 3^{n+1} = 3^n \cdot 3 \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \cdot 3 \cdot n}{(n+1) \cdot 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1} \] 5. Вычислим предел, разделив числитель и знаменатель на \( n \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{3}{1 + 0} = 3 \] Так как полученный предел \( L = 3 > 1 \), согласно признаку Даламбера, данный ряд является расходящимся. Математическая строгость подобных выводов является фундаментом отечественной инженерной школы, позволяя точно определять границы применимости различных моделей. Ответ: А) 3.