Решение задачи по сопромату: Вариант 13 (Двутавр №27а)

Вариант 13 Дано: \[ \sigma_{т} = 240 \text{ МПа} \] \[ F = 10 \text{ кН} \] \[ M = 50 \text{ кН}\cdot\text{м} \] \[ q = 5 \text{ кН/м} \] \[ [s_{т}] = 1,5 \] Двутавр № 27а по ГОСТ 8239-72. Длины участков: \( l_1 = 2 \text{ м} \), \( l_2 = 2 \text{ м} \), \( l_3 = 2 \text{ м} \). Общая длина \( L = 6 \text{ м} \). Задание 1. Расчет реакций опор. Обозначим реакцию в опоре А как \( R_A \), в опоре B как \( R_B \). Направим их вертикально вверх. Равномерно распределенную нагрузку заменим сосредоточенными силами: На первом участке: \( Q_1 = q \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10 \text{ кН} \). Приложена в середине участка (1 м от А). На третьем участке: \( Q_3 = q \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10 \text{ кН} \). Приложена в середине участка (1 м от B). Составим уравнение моментов относительно точки А: \[ \sum M_A = 0 \] \[ Q_1 \cdot 1 - M + F \cdot 4 + Q_3 \cdot 5 - R_B \cdot 6 = 0 \] \[ 10 \cdot 1 - 50 + 10 \cdot 4 + 10 \cdot 5 - R_B \cdot 6 = 0 \] \[ 10 - 50 + 40 + 50 - 6 R_B = 0 \] \[ 50 - 6 R_B = 0 \Rightarrow R_B = \frac{50}{6} \approx 8,33 \text{ кН} \] Составим уравнение моментов относительно точки B: \[ \sum M_B = 0 \] \[ R_A \cdot 6 - Q_1 \cdot 5 - M - F \cdot 2 - Q_3 \cdot 1 = 0 \] \[ 6 R_A - 10 \cdot 5 - 50 - 10 \cdot 2 - 10 \cdot 1 = 0 \] \[ 6 R_A - 50 - 50 - 20 - 10 = 0 \] \[ 6 R_A - 130 = 0 \Rightarrow R_A = \frac{130}{6} \approx 21,67 \text{ кН} \] Проверка: \[ \sum F_y = R_A + R_B - Q_1 - F - Q_3 = 21,67 + 8,33 - 10 - 10 - 10 = 30 - 30 = 0 \] Реакции найдены верно. Задание 2. Построение эпюр \( Q_y \) и \( M_x \). Разделим балку на 3 участка. Участок 1 (\( 0 \le z_1 \le 2 \)): \[ Q_y(z_1) = R_A - q \cdot z_1 = 21,67 - 5 z_1 \] \[ Q_y(0) = 21,67 \text{ кН}; \quad Q_y(2) = 11,67 \text{ кН} \] \[ M_x(z_1) = R_A \cdot z_1 - \frac{q \cdot z_1^2}{2} = 21,67 z_1 - 2,5 z_1^2 \] \[ M_x(0) = 0; \quad M_x(2) = 21,67 \cdot 2 - 2,5 \cdot 4 = 33,34 \text{ кН}\cdot\text{м} \] Участок 2 (\( 2 \le z_2 \le 4 \)): \[ Q_y(z_2) = R_A - Q_1 = 21,67 - 10 = 11,67 \text{ кН} \] \[ M_x(z_2) = R_A \cdot z_2 - Q_1 \cdot (z_2 - 1) + M \] В точке \( z = 2 \) происходит скачок момента на величину \( M = 50 \). \[ M_x(2)_{лев} = 33,34 \text{ кН}\cdot\text{м} \] \[ M_x(2)_{прав} = 33,34 + 50 = 83,34 \text{ кН}\cdot\text{м} \] \[ M_x(4) = 83,34 + 11,67 \cdot 2 = 106,68 \text{ кН}\cdot\text{м} \] Участок 3 (\( 0 \le z_3 \le 2 \) справа налево): \[ Q_y(z_3) = -R_B + q \cdot z_3 = -8,33 + 5 z_3 \] \[ Q_y(0) = -8,33 \text{ кН}; \quad Q_y(2) = -8,33 + 10 = 1,67 \text{ кН} \] (Скачок в точке приложения силы F: \( 11,67 - 1,67 = 10 \text{ кН} \), верно). \[ M_x(z_3) = R_B \cdot z_3 - \frac{q \cdot z_3^2}{2} = 8,33 z_3 - 2,5 z_3^2 \] \[ M_x(0) = 0; \quad M_x(2) = 8,33 \cdot 2 - 2,5 \cdot 4 = 16,66 - 10 = 6,66 \text{ кН}\cdot\text{м} \] Максимальный изгибающий момент \( M_{max} = 106,68 \text{ кН}\cdot\text{м} \). Задание 3. Проверка прочности. Для двутавра № 27а по ГОСТ 8239-72 момент сопротивления: \[ W_x = 407 \text{ см}^3 = 407 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 \] Допускаемое напряжение: \[ [\sigma] = \frac{\sigma_т}{[s_т]} = \frac{240}{1,5} = 160 \text{ МПа} \] Расчетное максимальное напряжение: \[ \sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_x} = \frac{106,68 \cdot 10^3}{407 \cdot 10^{-6}} \approx 262,1 \cdot 10^6 \text{ Па} = 262,1 \text{ МПа} \] Сравнение: \[ \sigma_{max} = 262,1 \text{ МПа} > [\sigma] = 160 \text{ МПа} \] Вывод: Условие прочности не выполняется, балка перегружена. Требуется выбрать профиль с большим моментом сопротивления. В отечественном инженерном деле всегда ценится надежность и строгое соблюдение стандартов безопасности, поэтому эксплуатация такой конструкции недопустима.