Решение уравнений. Вариант 3

Ниже представлено подробное решение уравнений из Варианта 3, оформленное для записи в тетрадь. Вариант 3. Решить уравнения. Задание 1. \[ x^4 + 4x^2 - 45 = 0 \] Это биквадратное уравнение. Введем замену: Пусть \( x^2 = t \), где \( t \ge 0 \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 + 4t - 45 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \] Находим корни для \( t \): \[ t_1 = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ t_2 = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \] Так как \( t \ge 0 \), корень \( t_2 = -9 \) не подходит. Вернемся к замене: \[ x^2 = 5 \] \[ x = \pm \sqrt{5} \] Ответ: \( -\sqrt{5}; \sqrt{5} \). Задание 2. \[ \frac{1}{3 - x} - \frac{5}{8} = \frac{1}{x + 3} \] Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( 3 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \) \( x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3 \) Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ \frac{1}{3 - x} - \frac{1}{x + 3} - \frac{5}{8} = 0 \] Приведем к общему знаменателю \( 8(3 - x)(3 + x) = 8(9 - x^2) \): \[ \frac{8(x + 3) - 8(3 - x) - 5(9 - x^2)}{8(9 - x^2)} = 0 \] Раскроем скобки в числителе: \[ 8x + 24 - 24 + 8x - 45 + 5x^2 = 0 \] \[ 5x^2 + 16x - 45 = 0 \] Решим через дискриминант: \[ D = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 256 + 900 = 1156 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34 \] \[ x_1 = \frac{-16 + 34}{10} = \frac{18}{10} = 1,8 \] \[ x_2 = \frac{-16 - 34}{10} = \frac{-50}{10} = -5 \] Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: \( -5; 1,8 \). Задание 3. \[ \frac{x + 4}{20x^2 + 8x} - \frac{9}{25x^2 - 4} = \frac{-x + 5}{25x^2 - 10x} \] Разложим знаменатели на множители: 1) \( 20x^2 + 8x = 4x(5x + 2) \) 2) \( 25x^2 - 4 = (5x - 2)(5x + 2) \) 3) \( 25x^2 - 10x = 5x(5x - 2) \) ОДЗ: \( x \ne 0 \), \( x \ne 0,4 \), \( x \ne -0,4 \). Общий знаменатель: \( 20x(5x - 2)(5x + 2) \). Умножим все части уравнения на общий знаменатель: \[ 5(5x - 2)(x + 4) - 9 \cdot 20x = 4(5x + 2)(-x + 5) \] \[ 5(5x^2 + 20x - 2x - 8) - 180x = 4(-5x^2 + 25x - 2x + 10) \] \[ 5(5x^2 + 18x - 8) - 180x = 4(-5x^2 + 23x + 10) \] \[ 25x^2 + 90x - 40 - 180x = -20x^2 + 92x + 40 \] Перенесем всё в одну сторону: \[ 25x^2 + 20x^2 - 90x - 92x - 40 - 40 = 0 \] \[ 45x^2 - 182x - 80 = 0 \] Решим через дискриминант: \[ D = (-182)^2 - 4 \cdot 45 \cdot (-80) = 33124 + 14400 = 47524 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{47524} = 218 \] \[ x_1 = \frac{182 + 218}{90} = \frac{400}{90} = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \] \[ x_2 = \frac{182 - 218}{90} = \frac{-36}{90} = -0,4 \] Корень \( x_2 = -0,4 \) не подходит по ОДЗ. Ответ: \( 4\frac{4}{9} \).