Решение задачи о параллельных прямых и секущей (Вариант 2)

Ниже представлено решение задач из Варианта 2, оформленное для записи в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \(a \parallel b\), \(c\) — секущая. \(\angle 1 - \angle 2 = 102^\circ\). Найти: все образовавшиеся углы. Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются внутренними односторонними при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(c\). По свойству параллельных прямых их сумма равна \(180^\circ\): \[\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\] 2) Составим систему уравнений на основе условия и свойства углов: \[\begin{cases} \angle 1 - \angle 2 = 102^\circ \\ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \end{cases}\] Сложим эти уравнения: \[2 \cdot \angle 1 = 282^\circ \implies \angle 1 = 141^\circ\] Найдем \(\angle 2\): \[\angle 2 = 180^\circ - 141^\circ = 39^\circ\] 3) При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются две группы равных углов: Четыре тупых угла будут равны \(\angle 1 = 141^\circ\) (как вертикальные и соответственные). Четыре острых угла будут равны \(\angle 2 = 39^\circ\) (как вертикальные и соответственные). Ответ: четыре угла по \(141^\circ\) и четыре угла по \(39^\circ\). Задача 2 Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle 3 = 140^\circ\). Найти: \(\angle 4\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются накрест лежащими при прямых \(a\), \(b\) и секущей \(AB\). Так как по условию \(\angle 1 = \angle 2\), то по признаку параллельности прямых \(a \parallel b\). 2) Углы \(\angle 3\) и \(\angle 4\) являются внутренними односторонними при параллельных прямых \(a \parallel b\) и секущей \(BC\). 3) По свойству параллельных прямых сумма внутренних односторонних углов равна \(180^\circ\): \[\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ\] \[140^\circ + \angle 4 = 180^\circ\] \[\angle 4 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\] Ответ: \(40^\circ\). Задача 3 Дано: \(\triangle CAE\), \(AK\) — биссектриса. \(KN \parallel CA\), \(N \in AE\). \(\angle CAE = 78^\circ\). Найти: углы \(\triangle AKN\). Решение: 1) Так как \(AK\) — биссектриса угла \(\angle CAE\), то: \[\angle CAK = \angle KAN = \frac{1}{2} \angle CAE = \frac{78^\circ}{2} = 39^\circ\] Значит, один из углов треугольника \(\angle KAN = 39^\circ\). 2) Так как \(KN \parallel CA\), то \(\angle NKA = \angle CAK\) как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей \(AK\). Следовательно, \(\angle NKA = 39^\circ\). 3) Найдем третий угол треугольника \(\angle ANK\) по теореме о сумме углов треугольника: \[\angle ANK = 180^\circ - (\angle KAN + \angle NKA)\] \[\angle ANK = 180^\circ - (39^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ\] Ответ: \(39^\circ\), \(39^\circ\), \(102^\circ\).