Решение задачи 11: Сумма чисел с нечетными цифрами

Задание 11 Условие: Цифры трёхзначного числа \(A\) записали в обратном порядке и получили число \(B\). Сумма чисел \(A\) и \(B\) записывается только нечётными цифрами. Найдите наименьшее такое число \(A\). Решение: Пусть число \(A\) имеет вид \(\overline{abc}\), где \(a, b, c\) — его цифры. Тогда: \[A = 100a + 10b + c\] Число \(B\), записанное в обратном порядке, имеет вид \(\overline{cba}\): \[B = 100c + 10b + a\] Найдём их сумму \(S = A + B\): \[S = (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 100(a + c) + 20b + (a + c)\] Нам нужно найти наименьшее число \(A\). Это значит, что первая цифра \(a\) должна быть как можно меньше. Так как \(A\) — трёхзначное число, \(a \neq 0\). Попробуем \(a = 1\). Также, чтобы число \(B\) было трёхзначным (обычно это подразумевается в таких задачах), цифра \(c\) не должна быть равна 0. Рассмотрим сумму по разрядам: 1. Единицы: \(a + c\) 2. Десятки: \(2b\) (плюс возможный перенос из единиц) 3. Сотни: \(a + c\) (плюс возможный перенос из десятков) Если \(a = 1\), проверим минимальное \(c = 1\). Тогда \(a + c = 2\) (чётное), что не подходит, так как все цифры суммы должны быть нечётными. Проверим \(a = 1, c = 2\). Тогда \(a + c = 3\) (нечётное). Сумма единиц: \(1 + 2 = 3\). Сумма десятков: \(2b\). Чтобы цифра в разряде десятков была нечётной, должен быть перенос из разряда единиц. Но \(1 + 2 = 3 < 10\), переноса нет. Значит, цифра десятков будет \(2b \pmod{10}\), что всегда чётно. Следовательно, для того чтобы в десятках получилась нечётная цифра, сумма единиц \(a + c\) обязана быть больше или равна 10, чтобы возник перенос. Пусть \(a + c = 11\) (следующее нечётное число после переноса будет зависеть от \(2b + 1\)). Если \(a + c = 11\), то цифра единиц суммы равна 1 (нечётная). В разряде десятков будет цифра, соответствующая последнему знаку числа \(2b + 1\). Чтобы она была нечётной, \(2b + 1\) должно быть нечётным, что выполняется при любом \(b\). Однако, нам нужно, чтобы и в разряде сотен (и тысяч, если есть) были нечётные цифры. Сумма сотен будет \(a + c + \text{перенос из десятков}\). Если \(2b + 1 < 10\), то переноса в сотни нет, и цифра сотен будет \(a + c = 11\), то есть 1, а в разряд тысяч пойдёт 1. Итого сумма \(1111\). Все цифры нечётные. Чтобы \(A\) было наименьшим при \(a + c = 11\), возьмём минимально возможное \(a\). Так как \(c\) — цифра (\(c \leq 9\)), то \(a \geq 11 - 9 = 2\). Возьмём \(a = 2\), тогда \(c = 9\). Теперь подберём минимальное \(b\). Условие отсутствия переноса из десятков в сотни: \(2b + 1 < 10\), то есть \(2b < 9\), \(b \leq 4\). Минимальное \(b = 0\). Проверим число \(A = 209\): \(A = 209\) \(B = 902\) \(A + B = 209 + 902 = 1111\) Все цифры суммы (1, 1, 1, 1) нечётные. Ответ: 209