Решение неравенств (Вариант 2): 4x²-8x ≤ 0, x² > 4, x²-x-30 > 0

Вариант 2 Задание 1. Решите неравенство: а) \( 4x^2 - 8x \le 0 \) Вынесем общий множитель за скобки: \( 4x(x - 2) \le 0 \) Корни уравнения \( 4x(x - 2) = 0 \): \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения и ноль функция принимает на отрезке между корнями. Ответ: \( x \in [0; 2] \) б) \( x^2 > 4 \) Перенесем все в левую часть: \( x^2 - 4 > 0 \) Разложим по формуле разности квадратов: \( (x - 2)(x + 2) > 0 \) Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -2 \) Методом интервалов определяем знаки: плюс на промежутках вне корней. Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \) Задание 2. Решите неравенство: а) \( x^2 - x - 30 > 0 \) Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 30 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \) \( x_1 \cdot x_2 = -30 \) Отсюда \( x_1 = 6 \), \( x_2 = -5 \) Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен и знак неравенства \( > \), выбираем внешние интервалы. Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (6; +\infty) \) б) \( x^2 + 12x + 80 < 0 \) Найдем дискриминант уравнения \( x^2 + 12x + 80 = 0 \): \( D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 144 - 320 = -176 \) Так как \( D < 0 \), парабола не пересекает ось \( Ox \) и целиком лежит выше нее (ветви вверх). Значит, выражение всегда положительно. Ответ: решений нет. Задание 3. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) \( (x + 11)(x - 9) < 0 \) Корни множителей: \( x = -11 \) и \( x = 9 \). Расставим знаки на числовой прямой: на интервале \( (-11; 9) \) произведение отрицательно. Ответ: \( x \in (-11; 9) \) б) \( \frac{x + 3}{x - 8} \ge 0 \) Нуль числителя: \( x = -3 \). Нуль знаменателя: \( x = 8 \) (точка выколотая). Отметим точки на прямой и проверим знаки. Выбираем интервалы со знаком плюс. Ответ: \( x \in (-\infty; -3] \cup (8; +\infty) \) Задание 4. Решите неравенство: \( (x + 5)^2(x - 3) \le 0 \) Множитель \( (x + 5)^2 \) всегда неотрицателен. Он равен нулю при \( x = -5 \). Если \( x \neq -5 \), то неравенство сводится к \( x - 3 \le 0 \), то есть \( x \le 3 \). Точка \( x = -5 \) также входит в это решение. Ответ: \( x \in (-\infty; 3] \) Задание 5. Найдите область определения функции: \( y = \sqrt{x(x - 5,6)(0,2 - x)} \) Под коренное выражение должно быть неотрицательным: \( x(x - 5,6)(0,2 - x) \ge 0 \) Умножим на \( -1 \), сменив знак неравенства: \( x(x - 5,6)(x - 0,2) \le 0 \) Корни: \( 0 \); \( 0,2 \); \( 5,6 \). Методом интервалов определяем знаки: На \( (-\infty; 0] \) — минус (подходит) На \( [0; 0,2] \) — плюс На \( [0,2; 5,6] \) — минус (подходит) На \( [5,6; +\infty) \) — плюс Ответ: \( D(y) = (-\infty; 0] \cup [0,2; 5,6] \)