Решение задач: Длина окружности и дуги

Ниже представлено решение задач из вашего списка в удобном для переписывания виде. Задача 1. Длина окружности Дано: \(d = 70\) см Найти: \(C\) — ? Решение: Длина окружности вычисляется по формуле: \[C = \pi \cdot d\] Подставим значение диаметра: \[C = 70\pi \approx 70 \cdot 3,14 = 219,8 \text{ см}\] Ответ: \(70\pi\) см (или примерно 219,8 см). Задача 2. Длина дуги Дано: \(R = 12\) см \(\alpha = 135^\circ\) Найти: \(L\) — ? Решение: Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \[L = \frac{\pi \cdot R \cdot \alpha}{180^\circ}\] Подставим данные: \[L = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 135}{180} = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 3}{4} = 9\pi \text{ см}\] Вычислим приближенно: \[L \approx 9 \cdot 3,14 = 28,26 \text{ см}\] Ответ: \(9\pi\) см (или примерно 28,26 см). Задача 3. Площадь круга, вписанного в треугольник Дано: \(a = 13\) см, \(b = 14\) см, \(c = 15\) см Найти: \(S_{кр}\) — ? Решение: 1. Найдем полупериметр треугольника \(p\): \[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см}\] 2. Найдем площадь треугольника \(S_{\triangle}\) по формуле Герона: \[S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\] \[S_{\triangle} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ см}^2\] 3. Найдем радиус вписанной окружности \(r\): \[r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{84}{21} = 4 \text{ см}\] 4. Найдем площадь круга: \[S_{кр} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ см}^2\] Ответ: \(16\pi\) см\(^2\) (или примерно 50,24 см\(^2\)). Задача 4. Площадь кругового сектора Дано: \(R = 10\) см \(\alpha = 60^\circ\) Найти: \(S_{сект}\) — ? Решение: Площадь кругового сектора вычисляется по формуле: \[S_{сект} = \frac{\pi \cdot R^2 \cdot \alpha}{360^\circ}\] Подставим значения: \[S_{сект} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 60}{360} = \frac{\pi \cdot 100}{6} = \frac{50\pi}{3} \text{ см}^2\] Вычислим приближенно: \[S_{сект} \approx \frac{50 \cdot 3,14}{3} \approx 52,33 \text{ см}^2\] Ответ: \(\frac{50\pi}{3}\) см\(^2\) (или примерно 52,33 см\(^2\)).