Решение задачи №5: Нахождение площади трапеции DAEC

Задание №5 Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(S_{ABCD} = 92\); \(E\) — середина \(AB\). Найти: \(S_{DAEC}\). Решение: 1. Площадь параллелограмма \(ABCD\) вычисляется по формуле: \[S_{ABCD} = a \cdot h\] где \(a = AD\) — основание, \(h\) — высота, опущенная на это основание. По условию \(S_{ABCD} = 92\). 2. Фигура \(DAEC\) представляет собой трапецию (так как \(EC\) не параллельна \(AD\), а \(AE\) и \(CD\) не параллельны в общем случае, точнее это четырехугольник, площадь которого можно найти как разность площадей). Удобнее всего найти площадь \(S_{DAEC}\) как разность площади всего параллелограмма и площади треугольника \(EBC\). \[S_{DAEC} = S_{ABCD} - S_{EBC}\] 3. Рассмотрим треугольник \(EBC\). Его основанием является отрезок \(EB\). Так как \(E\) — середина \(AB\), то: \[EB = \frac{1}{2} AB\] Высота треугольника \(EBC\), проведенная к прямой \(AB\), совпадает с высотой параллелограмма \(H\), проведенной к стороне \(AB\). Однако для простоты расчетов воспользуемся другой формулой площади: \[S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = 92\] Площадь треугольника \(EBC\): \[S_{EBC} = \frac{1}{2} \cdot EB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)\] Подставим \(EB = \frac{1}{2} AB\): \[S_{EBC} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} AB \right) \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{4} (AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B))\] Так как \(AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = S_{ABCD}\), получаем: \[S_{EBC} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot 92 = 23\] 4. Находим искомую площадь четырехугольника (трапеции) \(DAEC\): \[S_{DAEC} = S_{ABCD} - S_{EBC} = 92 - 23 = 69\] Ответ: 69.