Решение задачи №572: Сумма n членов арифметической прогрессии

Задача №572. Для решения данных задач воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n\] а) \(x_n = 4n + 2\) 1. Найдем первый член: \(x_1 = 4 \cdot 1 + 2 = 6\). 2. Сумма \(n\) членов: \[S_n = \frac{6 + (4n + 2)}{2} \cdot n = \frac{4n + 8}{2} \cdot n = (2n + 4) \cdot n = 2n^2 + 4n\] 3. Сумма 50 членов: \(S_{50} = 2 \cdot 50^2 + 4 \cdot 50 = 2 \cdot 2500 + 200 = 5000 + 200 = 5200\). 4. Сумма 100 членов: \(S_{100} = 2 \cdot 100^2 + 4 \cdot 100 = 20000 + 400 = 20400\). б) \(x_n = 2n + 3\) 1. Найдем первый член: \(x_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5\). 2. Сумма \(n\) членов: \[S_n = \frac{5 + (2n + 3)}{2} \cdot n = \frac{2n + 8}{2} \cdot n = (n + 4) \cdot n = n^2 + 4n\] 3. Сумма 50 членов: \(S_{50} = 50^2 + 4 \cdot 50 = 2500 + 200 = 2700\). 4. Сумма 100 членов: \(S_{100} = 100^2 + 4 \cdot 100 = 10000 + 400 = 10400\). в) \(x_n = n - 4\) 1. Найдем первый член: \(x_1 = 1 - 4 = -3\). 2. Сумма \(n\) членов: \[S_n = \frac{-3 + (n - 4)}{2} \cdot n = \frac{n - 7}{2} \cdot n = \frac{n^2 - 7n}{2}\] 3. Сумма 50 членов: \(S_{50} = \frac{50^2 - 7 \cdot 50}{2} = \frac{2500 - 350}{2} = \frac{2150}{2} = 1075\). 4. Сумма 100 членов: \(S_{100} = \frac{100^2 - 7 \cdot 100}{2} = \frac{10000 - 700}{2} = \frac{9300}{2} = 4650\). г) \(x_n = 3n - 1\) 1. Найдем первый член: \(x_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2\). 2. Сумма \(n\) членов: \[S_n = \frac{2 + (3n - 1)}{2} \cdot n = \frac{3n + 1}{2} \cdot n = \frac{3n^2 + n}{2}\] 3. Сумма 50 членов: \(S_{50} = \frac{3 \cdot 50^2 + 50}{2} = \frac{3 \cdot 2500 + 50}{2} = \frac{7550}{2} = 3775\). 4. Сумма 100 членов: \(S_{100} = \frac{3 \cdot 100^2 + 100}{2} = \frac{30000 + 100}{2} = \frac{30100}{2} = 15050\).