Решение задач: Расстояние от точки до плоскости; угол между прямой и плоскостью

Ниже представлено решение задач из карточки по геометрии для 10 класса на тему «Расстояние от точки до плоскости; угол между прямой и плоскостью». Задача №1 а) Дано: \(AF \perp (ABC)\), \(\triangle ABC\) — прямоугольный (\(\angle C = 90^\circ\)). Построить: \(\rho(F; CB)\). Решение: 1. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. 2. Так как \(AF \perp (ABC)\), то \(AF\) — перпендикуляр к плоскости, а \(FC\) — наклонная. 3. По условию \(BC \perp AC\) (так как \(\angle C = 90^\circ\)). 4. По теореме о трех перпендикулярах (ТТП): так как проекция наклонной \(AC \perp BC\), то и сама наклонная \(FC \perp BC\). 5. Следовательно, искомое расстояние \(\rho(F; CB) = FC\). б) Дано: \(\triangle ABC\) — тупоугольный (\(\angle C > 90^\circ\)), \(AF \perp (ABC)\). Построить: \(\rho(F; CB)\). Решение: 1. Проведем высоту \(AH\) из вершины \(A\) к продолжению стороны \(BC\) (так как угол \(C\) тупой, основание высоты \(H\) лежит вне отрезка \(BC\)). 2. Соединим точки \(F\) и \(H\). 3. Так как \(AF \perp (ABC)\), то \(AH\) — проекция наклонной \(FH\) на плоскость. 4. По построению \(AH \perp BC\), значит, по ТТП наклонная \(FH \perp BC\). 5. Искомое расстояние \(\rho(F; CB) = FH\). Задача №2 Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(FB \perp (ABCD)\). Построить: \(\rho(F; AC)\). Решение: 1. В плоскости прямоугольника проведем перпендикуляр \(BH \perp AC\). 2. Соединим точки \(F\) и \(H\). 3. Так как \(FB\) — перпендикуляр к плоскости, то \(BH\) является проекцией наклонной \(FH\). 4. По ТТП, так как \(BH \perp AC\), то и \(FH \perp AC\). 5. Искомое расстояние \(\rho(F; AC) = FH\). Задача №3 Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед. Найти: углы между прямой и плоскостями. Решение: 1. Угол между прямой \(B_1D\) и плоскостью \((ABC)\): Проекцией точки \(B_1\) на плоскость \((ABC)\) является точка \(B\). Значит, проекция прямой \(B_1D\) — это отрезок \(BD\). Искомый угол — это \(\angle B_1DB\). 2. Угол между прямой \(B_1D\) и плоскостью \((DD_1C_1)\): Проекцией точки \(B_1\) на плоскость \((DD_1C_1)\) является точка \(C_1\) (так как в прямоугольном параллелепипеде \(B_1C_1 \perp (DD_1C_1)\)). Значит, проекция прямой \(B_1D\) — это отрезок \(C_1D\). Искомый угол — это \(\angle B_1DC_1\). Задача №4 а) Дано: \(\triangle ABC\) — равносторонний, \(BB_1 \perp (ABC)\). Построить: угол между \(C_1B\) и \((BB_1A_1)\). Решение: 1. Плоскость \((BB_1A_1)\) совпадает с плоскостью боковой грани \(AA_1B_1B\). 2. Проведем высоту \(CH\) в \(\triangle ABC\) к стороне \(AB\). Так как треугольник равносторонний, \(CH \perp AB\). 3. Так как \(BB_1 \perp (ABC)\), то плоскость \(AA_1B_1B\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). 4. Следовательно, \(CH \perp (AA_1B_1B)\). Точка \(H\) — проекция точки \(C\) на эту плоскость. 5. Так как \(C_1C \parallel B_1B\), проекцией точки \(C_1\) будет точка \(H_1\) на ребре \(A_1B_1\). 6. Искомый угол — \(\angle C_1BH_1\) (или \(\angle CBH\), если рассматривать проекцию на \(AB\)). Задача №5 а) Дано: \(\triangle ABC\) — равносторонний, \(DC \perp (ABC)\). Построить: угол между \(BD\) и \((ADC)\). Решение: 1. Проведем высоту \(BH\) в \(\triangle ABC\) к стороне \(AC\). 2. Так как \(DC \perp (ABC)\), то плоскость \((ADC)\) перпендикулярна плоскости \((ABC)\). 3. Значит, \(BH \perp (ADC)\), и точка \(H\) — проекция точки \(B\) на плоскость \((ADC)\). 4. Проекция прямой \(BD\) на плоскость \((ADC)\) — это отрезок \(DH\). 5. Искомый угол — \(\angle BDH\).