Решение задачи 575: Сумма арифметической прогрессии

Задача №575. Для решения этих задач мы будем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] а) Сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 150. Это числа от 1 до 150. 1. \(a_1 = 1\), \(a_n = 150\), количество чисел \(n = 150\). 2. Вычисляем сумму: \[S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = \frac{151}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11325\] б) Сумма всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно. 1. \(a_1 = 20\), \(a_n = 120\). 2. Найдем количество чисел: \(n = 120 - 20 + 1 = 101\). 3. Вычисляем сумму: \[S_{101} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = \frac{140}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070\] в) Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300. 1. Первое число: \(a_1 = 4\). 2. Последнее число: \(300\) делится на 4, значит \(a_n = 300\). 3. Найдем количество чисел \(n\). Так как \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(d = 4\): \[300 = 4 + (n - 1) \cdot 4\] \[300 = 4 + 4n - 4\] \[4n = 300 \Rightarrow n = 75\] 4. Вычисляем сумму: \[S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11400\] г) Сумма всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130. 1. Первое число: \(a_1 = 7\). 2. Найдем последнее число. Разделим 130 на 7: \(130 : 7 = 18\) (остаток 4). Значит, \(a_n = 130 - 4 = 126\). 3. Количество чисел \(n = 18\). 4. Вычисляем сумму: \[S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197\]