Решение уравнений методом замены переменной

Ниже представлено решение четырех уравнений с фотографии. Все они решаются методом введения новой переменной (замены). Задание 1. \[x^4 - 5x^2 - 6 = 0\] Решение: Пусть \(x^2 = t\), где \(t \ge 0\). Тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 5t - 6 = 0\] По теореме Виета: \[t_1 = 6, \quad t_2 = -1\] Так как \(t \ge 0\), корень \(t_2 = -1\) не подходит. Вернемся к замене: \[x^2 = 6\] \[x = \pm \sqrt{6}\] Ответ: \(\pm \sqrt{6}\). Задание 2. \[(x+1)^4 + (x+1)^2 - 6 = 0\] Решение: Пусть \((x+1)^2 = t\), где \(t \ge 0\). \[t^2 + t - 6 = 0\] По теореме Виета: \[t_1 = -3, \quad t_2 = 2\] Условию \(t \ge 0\) удовлетворяет только \(t = 2\). Вернемся к замене: \[(x+1)^2 = 2\] \[x+1 = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x+1 = -\sqrt{2}\] \[x_1 = -1 + \sqrt{2}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{2}\] Ответ: \(-1 \pm \sqrt{2}\). Задание 3. \[(x-3)^4 - 3(x-3)^2 - 10 = 0\] Решение: Пусть \((x-3)^2 = t\), где \(t \ge 0\). \[t^2 - 3t - 10 = 0\] По теореме Виета: \[t_1 = 5, \quad t_2 = -2\] Подходит только \(t = 5\). Вернемся к замене: \[(x-3)^2 = 5\] \[x-3 = \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x-3 = -\sqrt{5}\] \[x_1 = 3 + \sqrt{5}, \quad x_2 = 3 - \sqrt{5}\] Ответ: \(3 \pm \sqrt{5}\). Задание 4. \[x^4 - 13x^2 + 36 = 0\] Решение: Пусть \(x^2 = t\), где \(t \ge 0\). \[t^2 - 13t + 36 = 0\] По теореме Виета: \[t_1 = 4, \quad t_2 = 9\] Оба корня подходят. Вернемся к замене: 1) \(x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2\) 2) \(x^2 = 9 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 3\) Ответ: \(\pm 2; \pm 3\).