Решение задания 2.12: Сократите дробь

Ниже представлено решение заданий из раздела 2.12 «Сократите дробь». Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в школьную тетрадь. Задание 2.12. Сократите дробь 1) \(\frac{a-1}{a^2-1}\) Применим формулу разности квадратов в знаменателе: \(a^2 - 1 = (a-1)(a+1)\). \[\frac{a-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a+1}\] 2) \(\frac{a^2-b^2}{a-b}\) Разложим числитель по формуле разности квадратов: \[\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b\] 3) \(\frac{a^2-b^2}{7a+7b}\) В числителе применим формулу разности квадратов, в знаменателе вынесем общий множитель 7 за скобки: \[\frac{(a-b)(a+b)}{7(a+b)} = \frac{a-b}{7}\] 4) \(\frac{a^2-16}{3a-12}\) Разложим числитель как разность квадратов (\(16 = 4^2\)), в знаменателе вынесем 3: \[\frac{(a-4)(a+4)}{3(a-4)} = \frac{a+4}{3}\] 5) \(\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}\) В числителе — разность квадратов, в знаменателе — квадрат разности: \[\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2} = \frac{a+b}{a-b}\] 6) \(\frac{x^2+2xy+y^2}{3x+3y}\) В числителе — квадрат суммы, в знаменателе вынесем 3: \[\frac{(x+y)^2}{3(x+y)} = \frac{x+y}{3}\] 7) \(\frac{x^2+4x+4}{3x+6}\) Числитель сворачиваем по формуле квадрата суммы (\(4 = 2^2\)), в знаменателе выносим 3: \[\frac{(x+2)^2}{3(x+2)} = \frac{x+2}{3}\] 8) \(\frac{9-6x+x^2}{(x-3)(x-4)}\) В числителе — квадрат разности (\(9-6x+x^2 = (3-x)^2\)). Заметим, что \((3-x)^2 = (x-3)^2\): \[\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x-4)} = \frac{x-3}{x-4}\] 9) \(\frac{(x^2-1)^2}{(x+1)^2}\) Разложим выражение внутри квадрата в числителе: \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\). Тогда \((x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2\): \[\frac{(x-1)^2(x+1)^2}{(x+1)^2} = (x-1)^2\] 10) \(\frac{(x^2-1)^2}{(x^2+1)^2-4x^2}\) Знаменатель разложим как разность квадратов (\(4x^2 = (2x)^2\)): \[(x^2+1-2x)(x^2+1+2x) = (x-1)^2(x+1)^2\] Теперь сократим дробь: \[\frac{(x-1)^2(x+1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2} = 1\] 11) \(\frac{(a+b)^2-4ab}{a^2-b^2}\) Раскроем скобки в числителе: \((a+b)^2-4ab = a^2+2ab+b^2-4ab = a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\). \[\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}\]