Решение задачи: определение скорости катера

Задача 2. Дано: Скорость течения реки: \( v_{теч} = 3 \) км/ч. Расстояние против течения: \( S_1 = 12 \) км. Расстояние по течению: \( S_2 = 5 \) км. Расстояние по озеру: \( S_3 = 18 \) км. Время в пути по реке равно времени в пути по озеру. Найти: собственную скорость катера \( v \). Решение: 1. Выразим скорость катера при движении в разных условиях: Скорость против течения: \( v - 3 \) км/ч. Скорость по течению: \( v + 3 \) км/ч. Скорость по озеру (собственная скорость): \( v \) км/ч. 2. Составим выражение для времени движения по реке: \[ t_{реки} = \frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} \] 3. Составим выражение для времени движения по озеру: \[ t_{озера} = \frac{18}{v} \] 4. По условию задачи \( t_{реки} = t_{озера} \). Составим уравнение: \[ \frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} = \frac{18}{v} \] 5. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: \[ \frac{12(v + 3) + 5(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = \frac{18}{v} \] \[ \frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v} \] \[ \frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v} \] 6. Используем свойство пропорции: \[ v(17v + 21) = 18(v^2 - 9) \] \[ 17v^2 + 21v = 18v^2 - 162 \] \[ 18v^2 - 17v^2 - 21v - 162 = 0 \] \[ v^2 - 21v - 162 = 0 \] 7. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33 \] \[ v_1 = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27 \] \[ v_2 = \frac{21 - 33}{2} = -6 \] (не подходит, так как скорость должна быть положительной) Ответ: собственная скорость катера равна 27 км/ч.