Решение задачи №3: Нахождение MD в треугольнике ABC

Ниже представлено решение задач №3 и №4, оформленное для записи в тетрадь. Задача №3 Дано: \(AB = 14\), \(AC = 15\), \(BC = 13\). \(MC \perp (ABC)\), \(MC = 5\). \(CD \perp AB\). Найти: \(MD\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Найдем его площадь по формуле Герона. Полупериметр \(p\): \[p = \frac{15 + 13 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21\] Площадь \(S\): \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 \cdot (21-15) \cdot (21-13) \cdot (21-14)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = \sqrt{7056} = 84\] 2. С другой стороны, площадь треугольника \(ABC\) через высоту \(CD\): \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD\] \[84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot CD\] \[84 = 7 \cdot CD \implies CD = 12\] 3. Так как \(MC \perp (ABC)\), то \(MC \perp CD\). Треугольник \(MCD\) — прямоугольный. По теореме Пифагора: \[MD = \sqrt{MC^2 + CD^2}\] \[MD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\] Ответ: \(MD = 13\). Задача №4 Дано: \(\triangle ABC\) — правильный, \(AB = 12\). \(O\) — центр вписанной окружности. \(OM \perp (ABC)\), \(OM = 4\). Найти: расстояние от точки \(M\) до прямой \(BC\). Решение: 1. Расстоянием от точки \(M\) до прямой \(BC\) является отрезок \(MD\), где \(D\) — точка касания вписанной окружности со стороной \(BC\). По теореме о трех перпендикулярах, так как \(OM \perp (ABC)\) и \(OD \perp BC\) (радиус в точку касания), то \(MD \perp BC\). 2. Найдем радиус вписанной окружности \(r = OD\) для правильного треугольника: \[r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\] \[OD = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MOD\) (\(\angle MOD = 90^\circ\)). По теореме Пифагора: \[MD = \sqrt{OM^2 + OD^2}\] \[MD = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\] Ответ: \(2\sqrt{7}\).