Решение задач: Смеси растворов и разность квадратов

Задача №4 Пусть \(x\) г — масса первого (30%-ного) раствора, а \(y\) г — масса второго (10%-ного) раствора. Составим систему уравнений на основе условий задачи: 1. Общая масса смеси: \(x + y = 600\). 2. Масса чистой кислоты в смеси: \(0,3x + 0,1y = 0,15 \cdot 600\). Решим систему: \[ \begin{cases} x + y = 600 \\ 0,3x + 0,1y = 90 \end{cases} \] Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 600 - x\) Подставим во второе уравнение: \(0,3x + 0,1(600 - x) = 90\) \(0,3x + 60 - 0,1x = 90\) \(0,2x = 30\) \(x = 30 : 0,2\) \(x = 150\) (г) — масса первого раствора. Найдем массу второго раствора: \(y = 600 - 150 = 450\) (г). Ответ: 150 г и 450 г. Задача №5 Пусть \(a\) — первое число, а \(b\) — второе число. Составим систему уравнений по условию задачи: 1. Разность квадратов: \(a^2 - b^2 = 100\). 2. Разность утроенного первого и удвоенного второго: \(3a - 2b = 30\). Выразим \(b\) из второго уравнения: \(2b = 3a - 30\) \(b = 1,5a - 15\) Подставим в первое уравнение: \(a^2 - (1,5a - 15)^2 = 100\) \(a^2 - (2,25a^2 - 45a + 225) = 100\) \(a^2 - 2,25a^2 + 45a - 225 - 100 = 0\) \(-1,25a^2 + 45a - 325 = 0\) Разделим всё уравнение на -1,25: \(a^2 - 36a + 260 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256\) \(\sqrt{D} = 16\) Находим корни для \(a\): \(a_1 = \frac{36 + 16}{2} = 26\) \(a_2 = \frac{36 - 16}{2} = 10\) Находим соответствующие значения \(b\): Для \(a_1 = 26\): \(b_1 = 1,5 \cdot 26 - 15 = 39 - 15 = 24\) Для \(a_2 = 10\): \(b_2 = 1,5 \cdot 10 - 15 = 15 - 15 = 0\) Проверка: 1) \(26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100\) (верно) 2) \(10^2 - 0^2 = 100\) (верно) Ответ: (26; 24) или (10; 0).