Решение задач по геометрии

Ниже представлено решение задач, оформленное для записи в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \(AM = CM\), \(\angle BAM = \angle DCM\). Доказать: \(\triangle ABM = \triangle CDM\). Доказательство: 1. Рассмотрим \(\triangle ABM\) и \(\triangle CDM\). 2. По условию \(AM = CM\). 3. По условию \(\angle BAM = \angle DCM\). 4. Углы \(\angle AMB\) и \(\angle CMD\) являются вертикальными, следовательно, \(\angle AMB = \angle CMD\). 5. Таким образом, \(\triangle ABM = \triangle CDM\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать. Задача 2 Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный, \(P = 49\) см. Основание на 7 см больше боковой стороны. Найти: стороны треугольника. Решение: Пусть \(x\) см — длина боковой стороны. Тогда длина основания равна \((x + 7)\) см. Так как треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \[P = x + x + (x + 7)\] \[49 = 3x + 7\] \[3x = 49 - 7\] \[3x = 42\] \[x = 14\] Боковые стороны равны 14 см. Находим основание: \(14 + 7 = 21\) см. Ответ: 14 см, 14 см, 21 см. Задача 3 Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)), \(M \in AB\), \(K \in BC\), \(BM = BK\). Доказать: \(\angle BAK = \angle BCM\). Доказательство: 1. Рассмотрим \(\triangle BAK\) и \(\triangle BCM\). 2. У них угол \(\angle B\) — общий. 3. По условию \(AB = BC\) (так как \(\triangle ABC\) равнобедренный). 4. По условию \(BK = BM\). 5. Следовательно, \(\triangle BAK = \triangle BCM\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle BAK = \angle BCM\). Что и требовалось доказать. Задача 4 Дано: \(CK = DK\), \(\angle CKP = \angle DKP\). Доказать: \(\angle MCP = \angle MDP\). Доказательство: 1. Рассмотрим \(\triangle CKP\) и \(\triangle DKP\). Сторона \(KP\) — общая, \(CK = DK\), \(\angle CKP = \angle DKP\). Значит, \(\triangle CKP = \triangle DKP\) по первому признаку. Из этого следует, что \(CP = DP\) и \(\angle CPK = \angle DPK\). 2. Так как \(\angle CPK = \angle DPK\), то смежные с ними углы также равны: \(\angle CPM = \angle DPM\). 3. Рассмотрим \(\triangle MCP\) и \(\triangle MDP\). Сторона \(MP\) — общая, \(CP = DP\), \(\angle CPM = \angle DPM\). 4. Следовательно, \(\triangle MCP = \triangle MDP\) по первому признаку. 5. Из равенства треугольников следует, что \(\angle MCP = \angle MDP\). Что и требовалось доказать. Задача 5 Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = 10\) см, \(BC = 15\) см. \(D \in BC\), \(AD\) — отрезок, где \(D\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AC\). Найти: \(P_{ABD}\). Решение: 1. Точка \(D\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(AC\). По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Значит, \(AD = CD\). 2. Периметр \(\triangle ABD\) вычисляется по формуле: \[P_{ABD} = AB + BD + AD\] 3. Заменим \(AD\) на \(CD\): \[P_{ABD} = AB + BD + CD\] 4. Заметим, что \(BD + CD = BC\). 5. Тогда: \[P_{ABD} = AB + BC\] \[P_{ABD} = 10 + 15 = 25 \text{ см}\] Ответ: 25 см.