Решение задачи: Найти среднюю линию равнобедренной трапеции

Задача Дано: Трапеция равнобедренная. Диагональ \( d = 176\sqrt{2} \). Угол между диагональю и основанием \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) (или \( 45^\circ \)). Найти: Средняя линия трапеции \( m \). Решение: 1. Проведем высоту \( h \) из вершины верхнего основания к нижнему основанию. Пусть основания трапеции равны \( a \) (меньшее) и \( b \) (большее). 2. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Больший из этих отрезков равен полусумме оснований, то есть средней линии трапеции: \[ m = \frac{a + b}{2} \] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю \( d \), высотой \( h \) и этим большим отрезком (средней линией \( m \)). В этом треугольнике угол между диагональю и основанием равен \( 45^\circ \). 4. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \[ \cos(\alpha) = \frac{m}{d} \] Отсюда выразим среднюю линию: \[ m = d \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \] 5. Подставим известные значения: \[ m = 176\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ m = 176 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \] \[ m = 176 \cdot \frac{2}{2} \] \[ m = 176 \] Ответ: 176.