Решение тригонометрической задачи: найти sin α, tg α, ctg α

Ниже представлено решение задач с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: \[ \cos \alpha = -\frac{24}{25}, \quad \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \] Найти: \( \sin \alpha, \text{ctg} \alpha, \text{tg} \alpha \). Решение: 1) Угол \( \alpha \) находится в III четверти, где синус отрицателен, а тангенс и котангенс положительны. 2) Из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) находим синус: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625} \] Так как \( \alpha \) в III четверти, то \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25} \). 3) Находим тангенс: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24} \] 4) Находим котангенс: \[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \] Ответ: \( \sin \alpha = -7/25; \text{tg} \alpha = 7/24; \text{ctg} \alpha = 24/7 \). Задача 2 Дано: \[ \sin \alpha = 0,8, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \] Найти: \( \cos \alpha, \text{tg} \alpha, \text{ctg} \alpha \). Решение: 1) Угол \( \alpha \) находится во II четверти, где косинус, тангенс и котангенс отрицательны. 2) Находим косинус: \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 \] Так как \( \alpha \) во II четверти, то \( \cos \alpha = -\sqrt{0,36} = -0,6 \). 3) Находим тангенс: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \] 4) Находим котангенс: \[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = -\frac{3}{4} = -0,75 \] Ответ: \( \cos \alpha = -0,6; \text{tg} \alpha = -4/3; \text{ctg} \alpha = -0,75 \). Задача 3 Дано: \[ \text{tg} \alpha = -2,4, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \] Найти: \( \sin \alpha, \cos \alpha, \text{ctg} \alpha \). Решение: 1) Угол \( \alpha \) находится во II четверти. Синус положителен, косинус отрицателен. 2) Находим котангенс: \[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{-2,4} = -\frac{10}{24} = -\frac{5}{12} \] 3) Используем формулу \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \): \[ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-2,4)^2 = 1 + 5,76 = 6,76 \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{6,76} = \frac{100}{676} \] Так как \( \alpha \) во II четверти: \( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{100}{676}} = -\frac{10}{26} = -\frac{5}{13} \). 4) Находим синус из формулы \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \): \[ \sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = (-2,4) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \left(-\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{12}{13} \] Ответ: \( \sin \alpha = 12/13; \cos \alpha = -5/13; \text{ctg} \alpha = -5/12 \).