Решение задачи №130: Найдите наименьшее значение выражения

Решение задачи №130. Условие: Найдите наименьшее значение выражения \(\frac{x^2 - 9}{2} \cdot \left( \frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} \right)\). Решение: 1. Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю \((x - 3)(x + 3)\): \[ \frac{x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{(x + 3)^2 + (x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} \] 2. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: \[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \] \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] \[ (x + 3)^2 + (x - 3)^2 = x^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9 = 2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9) \] 3. Знаменатель свернем по формуле разности квадратов: \[ (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9 \] 4. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: \[ \frac{x^2 - 9}{2} \cdot \frac{2(x^2 + 9)}{x^2 - 9} \] 5. Сократим дробь на \((x^2 - 9)\) и на \(2\): \[ \frac{(x^2 - 9) \cdot 2 \cdot (x^2 + 9)}{2 \cdot (x^2 - 9)} = x^2 + 9 \] При этом \(x \neq 3\) и \(x \neq -3\), так как при этих значениях знаменатель исходного выражения обращается в ноль. 6. Нам нужно найти наименьшее значение выражения \(x^2 + 9\). Так как квадрат любого числа \(x^2 \ge 0\), то минимальное значение \(x^2\) равно \(0\) (при \(x = 0\)). Следовательно, наименьшее значение выражения \(x^2 + 9\) равно: \[ 0 + 9 = 9 \] Ответ: 9. Решение задачи №131. Условие: Найдите наибольшее значение выражения \(\frac{4}{\left( \frac{x}{2} + 1 \right)^2 + \left( \frac{x}{2} - 1 \right)^2}\). Решение: 1. Упростим знаменатель дроби. Раскроем квадраты: \[ \left( \frac{x}{2} + 1 \right)^2 = \frac{x^2}{4} + x + 1 \] \[ \left( \frac{x}{2} - 1 \right)^2 = \frac{x^2}{4} - x + 1 \] 2. Сложим эти выражения: \[ \frac{x^2}{4} + x + 1 + \frac{x^2}{4} - x + 1 = \frac{2x^2}{4} + 2 = \frac{x^2}{2} + 2 \] 3. Подставим упрощенный знаменатель обратно в дробь: \[ \frac{4}{\frac{x^2}{2} + 2} \] 4. Чтобы дробь была наибольшей, ее знаменатель должен быть наименьшим (так как числитель — положительная константа). Знаменатель \(\frac{x^2}{2} + 2\) принимает наименьшее значение, когда \(x^2 = 0\), то есть при \(x = 0\). Наименьшее значение знаменателя равно \(0 + 2 = 2\). 5. Вычислим наибольшее значение всей дроби: \[ \frac{4}{2} = 2 \] Ответ: 2.