Задача №9: Найти угол APC в равнобедренном прямоугольном треугольнике

Задача №9 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = BC \). Точка \( P \) лежит на \( AB \), \( \angle ACP = 18^\circ \). Найти: \( \angle APC \). Решение: 1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). По условию он прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)) и равнобедренный (\( AC = BC \)). В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны: \[ \angle A = \angle B = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ \] 2. Рассмотрим \( \triangle APC \). Нам известны два его угла: \( \angle PAC = 45^\circ \) (так как это тот же угол \( A \) треугольника \( ABC \)); \( \angle ACP = 18^\circ \) (по условию). 3. Сумма углов любого треугольника равна \( 180^\circ \). Найдём искомый угол \( APC \): \[ \angle APC = 180^\circ - (\angle PAC + \angle ACP) \] \[ \angle APC = 180^\circ - (45^\circ + 18^\circ) \] \[ \angle APC = 180^\circ - 63^\circ \] \[ \angle APC = 117^\circ \] Ответ: \( 117^\circ \).