Решение:

Задание: Решите неравенство \( \frac{25}{16}x^2 - \frac{11}{4} \ge (\frac{5}{4}x + 1)^2 - \frac{13}{16}x \) и укажите наибольшее целое значение \( x \). Решение: 1. Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \[ (\frac{5}{4}x + 1)^2 = (\frac{5}{4}x)^2 + 2 \cdot \frac{5}{4}x \cdot 1 + 1^2 = \frac{25}{16}x^2 + \frac{5}{2}x + 1 \] 2. Подставим это выражение обратно в неравенство: \[ \frac{25}{16}x^2 - \frac{11}{4} \ge \frac{25}{16}x^2 + \frac{5}{2}x + 1 - \frac{13}{16}x \] 3. Заметим, что слагаемое \( \frac{25}{16}x^2 \) присутствует в обеих частях неравенства. При переносе оно взаимно уничтожится: \[ - \frac{11}{4} \ge \frac{5}{2}x - \frac{13}{16}x + 1 \] 4. Перенесем слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа — в правую: \[ - \frac{5}{2}x + \frac{13}{16}x \ge 1 + \frac{11}{4} \] 5. Приведем дроби к общему знаменателю. Для левой части общий знаменатель \( 16 \), для правой — \( 4 \): \[ - \frac{40}{16}x + \frac{13}{16}x \ge \frac{4}{4} + \frac{11}{4} \] \[ - \frac{27}{16}x \ge \frac{15}{4} \] 6. Чтобы найти \( x \), разделим обе части на \( -\frac{27}{16} \). При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \[ x \le \frac{15}{4} : (-\frac{27}{16}) \] \[ x \le \frac{15}{4} \cdot (-\frac{16}{27}) \] 7. Сократим дроби: \[ x \le - \frac{15 \cdot 16}{4 \cdot 27} = - \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 9} \] \[ x \le - \frac{20}{9} \] 8. Выделим целую часть из дроби: \[ x \le -2\frac{2}{9} \] Число \( -2\frac{2}{9} \) примерно равно \( -2,22... \). 9. Найдем наибольшее целое значение \( x \), удовлетворяющее условию \( x \le -2,22... \). Целые числа, которые меньше или равны \( -2,22... \), это \( -3, -4, -5 \) и так далее. Наибольшим из них является \( -3 \). Ответ: -3