Решение неравенства x^2 + (x+1)^2 ≤ 0

Задание: Найти количество целых \( x \), удовлетворяющих неравенству \( x^2 + (x + 1)^2 \le 0 \). Решение: 1. Проанализируем левую часть неравенства. Она представляет собой сумму двух квадратов: \[ x^2 \quad \text{и} \quad (x + 1)^2 \] 2. Вспомним свойство квадрата любого действительного числа: квадрат числа всегда неотрицателен, то есть \( a^2 \ge 0 \). Следовательно: \[ x^2 \ge 0 \] \[ (x + 1)^2 \ge 0 \] 3. Сумма двух неотрицательных выражений также всегда будет неотрицательной: \[ x^2 + (x + 1)^2 \ge 0 \] 4. Неравенство в задаче требует найти такие \( x \), при которых эта сумма будет меньше или равна нулю (\( \le 0 \)). Так как сумма не может быть меньше нуля, единственно возможный случай — это когда сумма равна нулю: \[ x^2 + (x + 1)^2 = 0 \] 5. Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое одновременно равно нулю: \[ \begin{cases} x^2 = 0 \\ (x + 1)^2 = 0 \end{cases} \] Из первого уравнения получаем \( x = 0 \). Из второго уравнения получаем \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = -1 \). 6. Система не имеет решений, так как \( x \) не может быть одновременно равен \( 0 \) и \( -1 \). Это означает, что нет ни одного значения \( x \), при котором данное неравенство было бы верным. 7. Следовательно, количество целых решений равно \( 0 \). Ответ: 0