Решение:

Вариант II Задание 1. Решите уравнение \(\log_{2}(x - 3) = 3\). Решение: По определению логарифма: \[x - 3 = 2^3\] \[x - 3 = 8\] \[x = 8 + 3\] \[x = 11\] Проверка: \(11 - 3 = 8 > 0\), условие существования логарифма выполняется. Ответ: \(11\). Задание 2. Найдите решение уравнения \(\log_{3}(x + 2) + \log_{3}(x - 2) = \log_{3}(5)\). Решение: Область допустимых значений (ОДЗ): \[\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 2\] Используем свойство суммы логарифмов: \[\log_{3}((x + 2)(x - 2)) = \log_{3}(5)\] \[(x + 2)(x - 2) = 5\] \[x^2 - 4 = 5\] \[x^2 = 9\] \[x_1 = 3, \quad x_2 = -3\] С учетом ОДЗ (\(x > 2\)), корень \(x = -3\) не подходит. Ответ: \(3\). Задание 3. Решите неравенство \(\log_{\frac{1}{2}}(x - 1) > -2\). Решение: ОДЗ: \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\). Представим \(-2\) как логарифм: \(-2 = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{-2} = \log_{\frac{1}{2}}(4)\). \[\log_{\frac{1}{2}}(x - 1) > \log_{\frac{1}{2}}(4)\] Так как основание логарифма \(0 < \frac{1}{2} < 1\), при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется: \[x - 1 < 4\] \[x < 5\] С учетом ОДЗ: \(1 < x < 5\). Ответ: \((1; 5)\). Задание 4. Определите решения неравенства \(\log_{x}(x^2 + x) < 2\). Решение: ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x^2 + x > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)\] Рассмотрим два случая: 1) Если \(x > 1\): \[x^2 + x < x^2\] \[x < 0\] Нет решений, так как противоречит условию \(x > 1\). 2) Если \(0 < x < 1\): \[x^2 + x > x^2\] \[x > 0\] Условие выполняется для всех \(x\) из интервала \((0; 1)\). Ответ: \((0; 1)\). Задание 5. Решите уравнение \(\lg(x^2 - 3x) + 1 = \lg(x - 1)^2\). Решение: ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ (x - 1)^2 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(x - 3) > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)\] Запишем \(1\) как \(\lg(10)\): \[\lg(x^2 - 3x) + \lg(10) = \lg(x - 1)^2\] \[\lg(10(x^2 - 3x)) = \lg(x - 1)^2\] \[10x^2 - 30x = x^2 - 2x + 1\] \[9x^2 - 28x - 1 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 784 + 36 = 820\] \[x = \frac{28 \pm \sqrt{820}}{18} = \frac{28 \pm 2\sqrt{205}}{18} = \frac{14 \pm \sqrt{205}}{9}\] Приблизительные значения: \(\sqrt{205} \approx 14.3\). \(x_1 \approx \frac{14 + 14.3}{9} \approx 3.14\) (входит в ОДЗ, так как \(> 3\)). \(x_2 \approx \frac{14 - 14.3}{9} \approx -0.03\) (входит в ОДЗ, так как \(< 0\)). Ответ: \(\frac{14 \pm \sqrt{205}}{9}\).