Нахождение производной неявной функции x = y - arctg(y/x)

Дано уравнение неявной функции: \[ x = y - \operatorname{arctg} \frac{y}{x} \] Требуется найти производную \( y' \). Решение: Продифференцируем обе части уравнения по \( x \), учитывая, что \( y \) является функцией от \( x \): \[ (x)' = \left( y - \operatorname{arctg} \frac{y}{x} \right)' \] Левая часть: \[ (x)' = 1 \] Правая часть: \[ y' - \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \left( \frac{y}{x} \right)' \] Применим правило дифференцирования частного для \( \left( \frac{y}{x} \right)' \): \[ \left( \frac{y}{x} \right)' = \frac{y' \cdot x - y \cdot 1}{x^2} = \frac{xy' - y}{x^2} \] Подставим это в уравнение: \[ 1 = y' - \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{xy' - y}{x^2} \] Упростим выражение в знаменателе дроби: \[ 1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2} \] Тогда: \[ 1 = y' - \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{xy' - y}{x^2} \] Сократим на \( x^2 \): \[ 1 = y' - \frac{xy' - y}{x^2 + y^2} \] Приведем правую часть к общему знаменателю: \[ 1 = \frac{y'(x^2 + y^2) - (xy' - y)}{x^2 + y^2} \] \[ 1 = \frac{x^2 y' + y^2 y' - xy' + y}{x^2 + y^2} \] Умножим обе части на \( x^2 + y^2 \): \[ x^2 + y^2 = x^2 y' + y^2 y' - xy' + y \] Сгруппируем слагаемые с \( y' \) в одной стороне: \[ x^2 + y^2 - y = y'(x^2 + y^2 - x) \] Выразим \( y' \): \[ y' = \frac{x^2 + y^2 - y}{x^2 + y^2 - x} \] Ответ: \[ y' = \frac{x^2 + y^2 - y}{x^2 + y^2 - x} \]