Решение задачи №9: определение длины нити маятника

Задача №9 Дано: \(t_1 = t_2 = t\) \(N_1 = 5\) \(N_2 = 3\) \(\Delta l = 48 \text{ см} = 0,48 \text{ м}\) Найти: \(l_1\) — ? \(l_2\) — ? Решение: Период колебаний математического маятника определяется формулой: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\] Также период можно выразить через время и число колебаний: \[T = \frac{t}{N}\] Приравняем эти выражения для обоих маятников: \[\frac{t}{N_1} = 2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}\] \[\frac{t}{N_2} = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}\] Разделим второе уравнение на первое: \[\frac{N_1}{N_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}\] Возведем в квадрат: \[\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 = \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{25}{9}\] Отсюда видно, что \(l_2 > l_1\). По условию разность длин \(\Delta l = l_2 - l_1 = 0,48 \text{ м}\). Выразим \(l_2\) через \(l_1\): \[l_2 = \frac{25}{9} l_1\] Подставим в уравнение разности: \[\frac{25}{9} l_1 - l_1 = 0,48\] \[\frac{16}{9} l_1 = 0,48\] \[l_1 = \frac{0,48 \cdot 9}{16} = 0,03 \cdot 9 = 0,27 \text{ м}\] Теперь найдем \(l_2\): \[l_2 = l_1 + 0,48 = 0,27 + 0,48 = 0,75 \text{ м}\] Переведем значения в сантиметры: \(l_1 = 27 \text{ см}\) \(l_2 = 75 \text{ см}\) Ответ: длина первого маятника 27 см, длина второго маятника 75 см.