Сокращение дроби (3x^2 - x - 2) / (9x^2 - 4)

Задание 3. Сократить дробь: \[ \frac{3x^2 - x - 2}{9x^2 - 4} \] Решение: 1. Разложим на множители числитель \( 3x^2 - x - 2 \). Для этого решим квадратное уравнение \( 3x^2 - x - 2 = 0 \): Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] Используя формулу \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \), получаем: \[ 3x^2 - x - 2 = 3(x - 1)(x + \frac{2}{3}) = (x - 1)(3x + 2) \] 2. Разложим на множители знаменатель \( 9x^2 - 4 \). Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ 9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x - 2)(3x + 2) \] 3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим её: \[ \frac{3x^2 - x - 2}{9x^2 - 4} = \frac{(x - 1)(3x + 2)}{(3x - 2)(3x + 2)} \] Сокращаем на общую скобку \( (3x + 2) \): \[ \frac{x - 1}{3x - 2} \] Ответ: \( \frac{x - 1}{3x - 2} \)