Решение задач №5-7: алгебра, степени и корни

Продолжение решения самостоятельной работы. № 5. Укажите наименьшее из чисел: 1) \( \sqrt{6} \) 2) \( 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18} \) 3) \( (\sqrt{3})^2 = 3 = \sqrt{9} \) 4) \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{15} \) Решение: Сравним подкоренные выражения: \( 6 < 9 < 15 < 18 \). Следовательно, \( \sqrt{6} \) — наименьшее число. Ответ: 1. № 6. В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь \( \frac{(a^{-3})^4}{a^{-6}} \)? Решение: Воспользуемся свойствами степеней: \[ \frac{(a^{-3})^4}{a^{-6}} = \frac{a^{-3 \cdot 4}}{a^{-6}} = \frac{a^{-12}}{a^{-6}} = a^{-12 - (-6)} = a^{-12 + 6} = a^{-6} \] Ответ: 4. № 7. Найдите корни уравнения \( 2x^2 + 14x = 0 \). Решение: Вынесем общий множитель за скобки: \[ 2x(x + 7) = 0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \) 2) \( x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -7 \) Ответ: -7; 0. № 8. Дана арифметическая прогрессия: \( -6, -3, 0, \dots \). Найдите сумму первых десяти её членов. Решение: 1) Найдем первый член \( a_1 = -6 \) и разность \( d = -3 - (-6) = 3 \). 2) Найдем десятый член по формуле \( a_n = a_1 + d(n-1) \): \[ a_{10} = -6 + 3(10 - 1) = -6 + 3 \cdot 9 = -6 + 27 = 21 \] 3) Найдем сумму по формуле \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \): \[ S_{10} = \frac{-6 + 21}{2} \cdot 10 = \frac{15}{2} \cdot 10 = 15 \cdot 5 = 75 \] Ответ: 75. № 9. Упростите выражение \( 7b + \frac{2a - 7b^2}{b} \) и найдите его значение при \( a = 9, b = 12 \). Решение: 1) Упростим выражение, приведя к общему знаменателю: \[ \frac{7b \cdot b + 2a - 7b^2}{b} = \frac{7b^2 + 2a - 7b^2}{b} = \frac{2a}{b} \] 2) Подставим значения \( a = 9 \) и \( b = 12 \): \[ \frac{2 \cdot 9}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1,5 \] Ответ: 1,5.