Решение задачи по алгебре: Квадратные уравнения

Вариант 2 1. Решите уравнение: а) \( 3x^2 + 13x - 10 = 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5 \] Ответ: \( \frac{2}{3}; -5 \). б) \( 2x^2 - 3x = 0 \) Вынесем общий множитель за скобки: \[ x(2x - 3) = 0 \] \[ x = 0 \text{ или } 2x - 3 = 0 \] \[ 2x = 3 \] \[ x = 1,5 \] Ответ: \( 0; 1,5 \). в) \( 16x^2 = 49 \) \[ x^2 = \frac{49}{16} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{49}{16}} \] \[ x_1 = 1,75; x_2 = -1,75 \] Ответ: \( \pm 1,75 \). г) \( x^2 - 2x - 35 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -35 \] Методом подбора находим корни: \[ x_1 = 7, x_2 = -5 \] Ответ: \( 7; -5 \). 2. Докажите тождество: \( 4x^2 + 27x + 18 = (4x + 3)(x + 6) \) Раскроем скобки в правой части выражения: \[ (4x + 3)(x + 6) = 4x \cdot x + 4x \cdot 6 + 3 \cdot x + 3 \cdot 6 = \] \[ = 4x^2 + 24x + 3x + 18 = 4x^2 + 27x + 18 \] Левая часть равна правой, тождество доказано. 3. Сократите дробь: \( \frac{x^2 - x - 2}{2x + 2} \) Разложим числитель на множители. Для \( x^2 - x - 2 = 0 \) корни по теореме Виета: \( x_1 = 2, x_2 = -1 \). Тогда \( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \). В знаменателе вынесем 2 за скобки: \( 2x + 2 = 2(x + 1) \). \[ \frac{(x - 2)(x + 1)}{2(x + 1)} = \frac{x - 2}{2} = 0,5x - 1 \] Ответ: \( \frac{x - 2}{2} \). 4. Задача. Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника. Периметр \( P = 2(a + b) = 30 \), значит \( a + b = 15 \). Площадь \( S = a \cdot b = 56 \). Составим систему уравнений или воспользуемся теоремой Виета для уравнения \( x^2 - 15x + 56 = 0 \). Корни уравнения: \( x_1 = 7, x_2 = 8 \). Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см. 5. Задача. Дано уравнение \( x^2 + 11x + q = 0 \) и корень \( x_1 = -7 \). По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -11 \] \[ -7 + x_2 = -11 \] \[ x_2 = -11 + 7 = -4 \] Найдем \( q \): \[ q = x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-4) = 28 \] Ответ: \( x_2 = -4, q = 28 \).