Практическая работа №6. Вариант 1. Решение уравнений с логарифмами

Практическая работа №6. Вариант 1. 1. Решите уравнения: а) \(\log_{9} x = \frac{1}{3}\) По определению логарифма: \(x = 9^{\frac{1}{3}}\) \(x = \sqrt[3]{9}\) Ответ: \(\sqrt[3]{9}\) b) \(\log_{x} 36 = 2\) По определению логарифма (при \(x > 0\) и \(x \neq 1\)): \(x^2 = 36\) \(x = 6\) или \(x = -6\) Так как основание логарифма должно быть положительным, \(x = 6\). Ответ: 6 c) \(\log_{2} (3x + 1) = 3\) По определению логарифма: \(3x + 1 = 2^3\) \(3x + 1 = 8\) \(3x = 7\) \(x = \frac{7}{3}\) \(x = 2\frac{1}{3}\) Ответ: \(2\frac{1}{3}\) d) \(\log_{0,5} (x^2 - 1) = -3\) По определению логарифма: \(x^2 - 1 = (0,5)^{-3}\) \(x^2 - 1 = (\frac{1}{2})^{-3}\) \(x^2 - 1 = 2^3\) \(x^2 - 1 = 8\) \(x^2 = 9\) \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\) Проверка ОДЗ: \(x^2 - 1 > 0\). При \(x = \pm 3\), \(9 - 1 = 8 > 0\). Оба корня подходят. Ответ: -3; 3 2. Решите неравенство: а) \(\lg x \geq -1\) ОДЗ: \(x > 0\) Так как основание логарифма \(10 > 1\), знак неравенства не меняется: \(x \geq 10^{-1}\) \(x \geq 0,1\) С учетом ОДЗ: \(x \in [0,1; +\infty)\) Ответ: \([0,1; +\infty)\) b) \(\log_{2} (4x - 1) < 4\) ОДЗ: \(4x - 1 > 0 \Rightarrow 4x > 1 \Rightarrow x > 0,25\) Так как основание \(2 > 1\), знак неравенства сохраняется: \(4x - 1 < 2^4\) \(4x - 1 < 16\) \(4x < 17\) \(x < 4,25\) Объединяем с ОДЗ: \(0,25 < x < 4,25\) Ответ: \((0,25; 4,25)\)