Решение задач С-30 №1а и 2а: Дробные рациональные уравнения

Ниже представлено решение заданий из раздела С-30 "Дробные рациональные уравнения" (пункт 1, задания 1а и 2а), оформленное для переписывания в тетрадь. Задание 1. Решите уравнение: а) \(\frac{x^2 + 3x}{2} + \frac{x - 3x^2}{8} = 2x\) Решение: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 8, чтобы избавиться от дробей: \[ 4(x^2 + 3x) + (x - 3x^2) = 8 \cdot 2x \] \[ 4x^2 + 12x + x - 3x^2 = 16x \] Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: \[ x^2 + 13x - 16x = 0 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] Разложим на множители: \[ x(x - 3) = 0 \] Отсюда: \[ x_1 = 0 \] \[ x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3 \] Ответ: 0; 3. Задание 2. Решите уравнение: а) \(\frac{x^2}{3 - x} = \frac{2x}{3 - x}\) Решение: Перенесем всё в одну сторону: \[ \frac{x^2}{3 - x} - \frac{2x}{3 - x} = 0 \] \[ \frac{x^2 - 2x}{3 - x} = 0 \] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 1) Числитель: \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \] 2) Знаменатель (ОДЗ): \[ 3 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \] Оба найденных корня (0 и 2) удовлетворяют условию \(x \neq 3\). Ответ: 0; 2. в) \(\frac{x^2 + 3x}{x - 4} = \frac{x^2 - x}{4 - x}\) Решение: Заметим, что знаменатели отличаются знаком: \(4 - x = -(x - 4)\). Перенесем правую часть влево, сменив знак перед дробью: \[ \frac{x^2 + 3x}{x - 4} + \frac{x^2 - x}{x - 4} = 0 \] \[ \frac{x^2 + 3x + x^2 - x}{x - 4} = 0 \] \[ \frac{2x^2 + 2x}{x - 4} = 0 \] Условие равенства дроби нулю: 1) \(2x^2 + 2x = 0\) \[ 2x(x + 1) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = -1 \] 2) ОДЗ: \(x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\) Оба корня подходят. Ответ: -1; 0.