Решение задач 2.2, 3.2, 4.2 по геометрии

Ниже представлены решения задач с карточки, оформленные для записи в тетрадь. Задача 2.2. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 46^\circ \), \( AD \) — биссектриса. Найти: \( \angle BAD \). Решение: Биссектриса делит угол пополам, следовательно: \[ \angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ \] Ответ: 23. Задача 3.2. Дано: \( \triangle \), два угла равны \( 68^\circ \) и \( 40^\circ \). Найти: третий угол. Решение: Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). \[ 180^\circ - (68^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \] Ответ: 72. Задача 4.2. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 136^\circ \). Найти: внешний угол при вершине \( C \). Решение: Внешний угол и внутренний угол треугольника при одной вершине являются смежными, их сумма равна \( 180^\circ \). \[ 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ \] Ответ: 44. Задача 5.2. Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), \( \angle ABC = 122^\circ \). Найти: \( \angle BCA \). Решение: Так как \( AB = BC \), треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \). \[ \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 122^\circ}{2} = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ \] Ответ: 29. Задача 6.2. Дано: прямоугольный треугольник, один острый угол равен \( 64^\circ \). Найти: другой острый угол. Решение: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \). \[ 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ \] Ответ: 26. Задача 7.2. Дано: \( \triangle ABC \), \( BH \) — высота, \( \angle BAC = 80^\circ \). Найти: \( \angle ABH \). Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \) (\( \angle AHB = 90^\circ \)). \[ \angle ABH = 90^\circ - \angle BAH = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ \] Ответ: 10. Задача 8.2. Дано: прямоугольный треугольник, катеты \( a = 4 \), \( b = 9 \). Найти: площадь \( S \). Решение: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 18 \] Ответ: 18. Задача 9.2. Дано: сторона \( a = 14 \), высота \( h = 31 \). Найти: площадь \( S \). Решение: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 31 = 7 \cdot 31 = 217 \] Ответ: 217. Задача 10.2. Дано: \( \triangle ABC \), \( M, N \) — середины сторон \( AB \) и \( BC \), \( AC = 28 \). Найти: \( MN \). Решение: \( MN \) — средняя линия треугольника. Она параллельна стороне \( AC \) и равна её половине. \[ MN = \frac{AC}{2} = \frac{28}{2} = 14 \] Ответ: 14. Задача 11.2. Дано: прямоугольный треугольник, катеты \( a = 8 \), \( b = 15 \). Найти: гипотенузу \( c \). Решение: По теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \] Ответ: 17. Задача 12.2. Дано: прямоугольный треугольник, катет \( a = 40 \), гипотенуза \( c = 41 \). Найти: другой катет \( b \). Решение: По теореме Пифагора: \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{(41-40)(41+40)} = \sqrt{1 \cdot 81} = 9 \] Ответ: 9. Задача 13.2. Дано: равносторонний треугольник, сторона \( a = 9\sqrt{3} \). Найти: медиану \( m \). Решение: В равностороннем треугольнике медиана является и высотой. Формула высоты: \[ m = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5 \] Ответ: 13,5.