Решение Зачетного билета №9: Спираль Архимеда

Зачетный билет № 9 Вопрос 1. Как называется кривая I, II, ..., XI? Как она построена? Ответ: Данная кривая называется спиралью Архимеда. Принцип построения: Спираль Архимеда — это траектория точки, которая равномерно движется вдоль луча, в то время как сам луч равномерно вращается вокруг своего начала (полюса). Математически в полярных координатах она описывается уравнением: \[ \rho = a \cdot \varphi \] где: \( \rho \) — полярный радиус (расстояние от центра \( O \) до точки); \( a \) — параметр спирали (коэффициент возрастания радиуса); \( \varphi \) — угол поворота луча. На чертеже видно, что окружность разделена на 12 равных частей (углы по \( 30^\circ \)). Радиус-вектор каждой последующей точки увеличивается на одну и ту же величину (шаг спирали), разделенную на количество делений круга. Точки \( I, II, III... \) получены на пересечении соответствующих лучей и концентрических окружностей с равномерно растущим радиусом. Задание: Построить окружность \( R20 \), касательную к данной кривой в точке \( K \). Алгоритм построения для тетради: 1. Определение нормали: Для спирали Архимеда нормаль в любой точке \( K \) строится с помощью поднормали. Длина поднормали \( n \) для данной спирали постоянна и вычисляется по формуле: \[ n = \frac{P}{2\pi} \] где \( P \) — шаг спирали (расстояние между витками по лучу). 2. Геометрический способ: - Проводим из центра \( O \) луч, перпендикулярный радиус-вектору \( OK \). - На этом перпендикуляре откладываем отрезок \( OT \), равный \( \frac{P}{2\pi} \). - Соединяем точки \( T \) и \( K \). Прямая \( TK \) будет нормалью к спирали в точке \( K \). 3. Построение касательной: - Проводим прямую через точку \( K \) перпендикулярно нормали \( TK \). Это и будет искомая касательная. 4. Построение окружности \( R20 \): - На нормали \( TK \) от точки \( K \) откладываем отрезок длиной 20 мм. Получаем центр \( O_1 \). - Из центра \( O_1 \) проводим окружность радиусом 20 мм. Она будет касаться спирали в точке \( K \).