Решение задачи №5: Сравнение дисперсий выборок

На основании обновленного фото, где уточнены значения средних величин и добавлена формула для критерия Фишера \( F \), привожу решение, которое удобно переписать в тетрадь. Задача №5 1. Исходные данные Выборка 1 (Полуавтомат 1): \( n_1 = 5 \) измерений. \( x_{1,i} = \{30.049; 30.01; 30.036; 30.042; 30.018\} \) Среднее значение (по условию): \( \bar{x}_1 = 30.037 \) мм. Выборка 2 (Полуавтомат 2): \( n_2 = 6 \) измерений. \( x_{2,i} = \{30.042; 30.04; 30.053; 30.031; 30.021; 30.015\} \) Среднее значение (по условию): \( \bar{x}_2 = 30.034 \) мм. 2. Расчет выборочных дисперсий \( \sigma^2 \) Используем формулу: \[ \sigma^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \] Для первой выборки: \[ \sigma_1^2 = \frac{(30.049-30.037)^2 + (30.01-30.037)^2 + (30.036-30.037)^2 + (30.042-30.037)^2 + (30.018-30.037)^2}{5-1} \] \[ \sigma_1^2 = \frac{0.012^2 + (-0.027)^2 + (-0.001)^2 + 0.005^2 + (-0.019)^2}{4} \] \[ \sigma_1^2 = \frac{0.000144 + 0.000729 + 0.000001 + 0.000025 + 0.000361}{4} = \frac{0.00126}{4} = 0.000315 \] Для второй выборки: \[ \sigma_2^2 = \frac{(30.042-30.034)^2 + (30.04-30.034)^2 + (30.053-30.034)^2 + (30.031-30.034)^2 + (30.021-30.034)^2 + (30.015-30.034)^2}{6-1} \] \[ \sigma_2^2 = \frac{0.008^2 + 0.006^2 + 0.019^2 + (-0.003)^2 + (-0.013)^2 + (-0.019)^2}{5} \] \[ \sigma_2^2 = \frac{0.000064 + 0.000036 + 0.000361 + 0.000009 + 0.000169 + 0.000361}{5} = \frac{0.001}{5} = 0.0002 \] 3. Расчет критерия Фишера \( F \) По формуле из тетради (отношение большей дисперсии к меньшей): \[ F = \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \] \[ F = \frac{0.000315}{0.0002} = 1.575 \] Ответ: \( \sigma_1^2 = 0.000315 \); \( \sigma_2^2 = 0.0002 \); \( F = 1.575 \).