Решение задачи: углы и стороны прямоугольного треугольника

Дано: Треугольник \(ABC\), \( \angle C = 90^\circ \). \( \angle A = 30^\circ \). \( CH \perp AB \), \( BC = 15 \). Найти: 1) \( \angle B \); 2) \( BH \); 3) \( AH \). Решение: 1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \). \[ \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] 2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCH\) (где \( \angle CHB = 90^\circ \)). В нем \( \angle B = 60^\circ \), тогда: \[ \angle BCH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] По свойству катета, лежащего против угла в \( 30^\circ \), катет \( BH \) равен половине гипотенузы \( BC \): \[ BH = \frac{BC}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 \] 3) Сначала найдем гипотенузу \( AB \) треугольника \( ABC \). Так как \( \angle A = 30^\circ \), то катет \( BC \) равен половине гипотенузы \( AB \): \[ AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 15 = 30 \] Теперь найдем отрезок \( AH \): \[ AH = AB - BH = 30 - 7,5 = 22,5 \] Ответ: 1) \( \angle B = 60^\circ \); 2) \( BH = 7,5 \); 3) \( AH = 22,5 \).