Решение: Квадратные Уравнения, Вариант 2

Контрольная работа № 3 Тема: Квадратные уравнения Вариант 2 I часть 1. Решите уравнение: \(x^2 + 11x = 0\). Вынесем общий множитель за скобки: \(x(x + 11) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x_1 = 0\) или \(x + 11 = 0\) \(x_2 = -11\) Ответ: -11; 0. 2. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 7. По теореме Виета для уравнения \(x^2 + px + q = 0\): \(p = -(x_1 + x_2) = -(2 + 7) = -9\) \(q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 7 = 14\) Уравнение имеет вид: \(x^2 - 9x + 14 = 0\). Ответ: \(x^2 - 9x + 14 = 0\). 3. Решите уравнение: \(3x^2 - 15 = 0\). Разделим обе части на 3: \(x^2 - 5 = 0\) \(x^2 = 5\) \(x_{1,2} = \pm \sqrt{5}\) Ответ: \(-\sqrt{5}; \sqrt{5}\). 4. Решите уравнение: \(x^2 - 9x + 20 = 0\). Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1\) Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 1}{2} = 5\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 1}{2} = 4\) Ответ: 4; 5. 5. При каком значении \(a\) уравнение \(3x^2 - 6x + a = 0\) имеет единственный корень? Квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 36 - 12a\) Условие \(D = 0\): \(36 - 12a = 0\) \(12a = 36\) \(a = 3\) Ответ: 3. II часть 6. Решите уравнение: \((5x - 3)^2 + (2x - 3)(2x + 3) = 2\). Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: \(25x^2 - 30x + 9 + 4x^2 - 9 = 2\) Приведем подобные слагаемые: \(29x^2 - 30x - 2 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-30)^2 - 4 \cdot 29 \cdot (-2) = 900 + 232 = 1132\) \(x_{1,2} = \frac{30 \pm \sqrt{1132}}{58} = \frac{30 \pm 2\sqrt{283}}{58} = \frac{15 \pm \sqrt{283}}{29}\) Ответ: \(\frac{15 \pm \sqrt{283}}{29}\). 7. Число -3 является корнем уравнения \(2x^2 + 7x + c = 0\). Найдите значение \(c\) и второй корень. Подставим \(x = -3\) в уравнение: \(2(-3)^2 + 7(-3) + c = 0\) \(18 - 21 + c = 0\) \(-3 + c = 0 \Rightarrow c = 3\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{2} = -3,5\) \(-3 + x_2 = -3,5\) \(x_2 = -0,5\) Ответ: \(c = 3\); \(x_2 = -0,5\). III часть 8. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если меньший из его катетов на 18 см меньше гипотенузы и на 17 см меньше другого катета. Пусть меньший катет равен \(x\) см. Тогда второй катет равен \((x + 17)\) см, а гипотенуза равна \((x + 18)\) см. По теореме Пифагора: \(x^2 + (x + 17)^2 = (x + 18)^2\) \(x^2 + x^2 + 34x + 289 = x^2 + 36x + 324\) \(x^2 - 2x - 35 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = 7\), \(x_2 = -5\) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной). Меньший катет: \(x = 7\) см. Второй катет: \(7 + 17 = 24\) см. Гипотенуза: \(7 + 18 = 25\) см. Ответ: 7 см, 24 см, 25 см.