Решение: Однородное дифференциальное уравнение (Задание 15)

Задание 15. Дано однородное дифференциальное уравнение первого порядка: \[ y' = P(x, y) \] Требуется определить, какое равенство справедливо для функции \( P(x, y) \). Решение: Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если функция \( P(x, y) \) является однородной функцией нулевой степени. Это означает, что при замене переменных \( x \) на \( tx \) и \( y \) на \( ty \) значение функции не изменяется. Математически это условие записывается следующим образом: \[ P(tx, ty) = t^0 \cdot P(x, y) \] Так как \( t^0 = 1 \), получаем: \[ P(tx, ty) = P(x, y) \] Следовательно, правильным является второй вариант ответа. Ответ: 2. \( P(tx, ty) = P(x, y) \)