Частная производная z = e^(x+y^3) в точке M(0;1): подробное решение

Задание 26. Дана функция: \[ z = e^{x + y^3} \] Требуется найти частную производную этой функции по переменной \( y \) в точке \( M(0; 1) \). Решение: 1. Найдем частную производную функции по \( y \). При дифференцировании по \( y \) переменная \( x \) считается константой. Используем правило дифференцирования сложной функции для экспоненты: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = (e^{x + y^3})'_y = e^{x + y^3} \cdot (x + y^3)'_y \] 2. Вычислим производную внутренней функции по \( y \): \[ (x + y^3)'_y = 0 + 3y^2 = 3y^2 \] 3. Таким образом, общая формула частной производной: \[ z'_y = 3y^2 \cdot e^{x + y^3} \] 4. Подставим координаты точки \( M(0; 1) \), где \( x = 0 \), а \( y = 1 \): \[ z'_y(0; 1) = 3 \cdot 1^2 \cdot e^{0 + 1^3} = 3 \cdot 1 \cdot e^1 = 3e \] Ответ: 4. \( 3e \)