Решение: Практическая работа «Испытания Бернулли», 3 вариант

Практическая работа «Испытания Бернулли» 3 вариант. Задача 1. Дано: \(n = 10\) (количество испытаний) \(k = 4\) (количество успехов) Найти: число элементарных событий. Решение: Число элементарных событий с \(k\) успехами в серии из \(n\) испытаний Бернулли равно числу сочетаний из \(n\) по \(k\): \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] Подставим значения: \[C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 7 \cdot 3 \cdot 10 = 210\] Ответ: 210. Задача 2. Дано: \(n = 6\) \(p = 1/3\) (вероятность успеха) \(q = 1 - p = 2/3\) (вероятность неудачи) Событие: (У, У, Н, Н, Н, Н) Найти: вероятность этого события. Решение: Так как испытания независимы, вероятность конкретной последовательности равна произведению вероятностей каждого исхода: \[P = p \cdot p \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = p^2 \cdot q^4\] \[P = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{16}{729}\] Ответ: \(16/729\). Задача 3. Дано: \(n = 10\) \(k = 6\) \(p = 0,5\) (вероятность выпадения орла) \(q = 0,5\) (вероятность выпадения решки) Найти: \(P_{10}(6)\). Решение: Используем формулу Бернулли: \[P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] \[C_{10}^6 = C_{10}^4 = 210\] (вычислено в задаче 1) \[P_{10}(6) = 210 \cdot (0,5)^6 \cdot (0,5)^4 = 210 \cdot (0,5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512} \approx 0,205\] Ответ: \(105/512\) (или примерно 0,205). Задача 4. Дано: \(n = 5\) \(p = 0,4\) \(q = 0,6\) Событие: \(k \ge 3\) (попадет 3, 4 или 5 раз) Найти: \(P(k \ge 3)\). Решение: Искомая вероятность равна сумме вероятностей: \[P(k \ge 3) = P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)\] Вычислим каждое слагаемое: \[P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^2 = 10 \cdot 0,064 \cdot 0,36 = 0,2304\] \[P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,4)^4 \cdot (0,6)^1 = 5 \cdot 0,0256 \cdot 0,6 = 0,0768\] \[P_5(5) = C_5^5 \cdot (0,4)^5 \cdot (0,6)^0 = 1 \cdot 0,01024 \cdot 1 = 0,01024\] Сложим результаты: \[P(k \ge 3) = 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 0,31744\] Ответ: 0,31744.