Решение задач по геометрии с подробным объяснением

Ниже представлены решения задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задача 1. Дано: \(a = 10\), \(h = 8\). Найти: \(S\). Решение: Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 5 \cdot 8 = 40\] Ответ: 40. Задача 2. Дано: \(a = 12\), \(S = 48\). Найти: \(h\). Решение: Из формулы площади \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) выразим высоту: \[h = \frac{2S}{a}\] \[h = \frac{2 \cdot 48}{12} = \frac{96}{12} = 8\] Ответ: 8. Задача 4. Дано: параллелограмм \(ABCD\), \(AB = 14\), \(BC = 18\), \(\angle B = 150^\circ\). Найти: \(S\). Решение: Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними: \[S = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)\] Так как \(\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем: \[S = 14 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 14 \cdot 9 = 126\] Ответ: 126. Задача 5. Дано: ромб \(ABCD\), \(P = 36\), \(\angle B = 150^\circ\). Найти: \(S\). Решение: 1) У ромба все стороны равны, значит сторона \(a = \frac{P}{4} = \frac{36}{4} = 9\). 2) Площадь ромба: \[S = a^2 \cdot \sin(\angle B)\] \[S = 9^2 \cdot \sin(150^\circ) = 81 \cdot \frac{1}{2} = 40,5\] Ответ: 40,5. Задача 6. Дано: трапеция \(ABCD\), \(CD = 14\), \(AB = 24\), \(\angle D = 45^\circ\), \(DM \perp AB\). Найти: \(S\). Решение: 1) В прямоугольной трапеции \(BC = DM\) (высота). Отрезок \(MA = AB - CD = 24 - 14 = 10\). 2) В прямоугольном треугольнике \(DMA\), так как \(\angle D = 45^\circ\), то \(\angle A = 45^\circ\). Значит, треугольник равнобедренный: \(DM = MA = 10\). 3) Площадь трапеции: \[S = \frac{AB + CD}{2} \cdot DM\] \[S = \frac{24 + 14}{2} \cdot 10 = \frac{38}{2} \cdot 10 = 19 \cdot 10 = 190\] Ответ: 190. Задача 7. Дано: трапеция \(ABCD\), \(BC = 4\), \(AD = 14\), \(AB = 10\), \(\angle B = 60^\circ\) (в треугольнике \(ABM\)). Найти: \(S\). Решение: 1) Проведем высоту \(BM\). В прямоугольном треугольнике \(ABM\): \[BM = AB \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\] 2) Площадь трапеции: \[S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BM\] \[S = \frac{14 + 4}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{18}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 9 \cdot 5\sqrt{3} = 45\sqrt{3}\] Ответ: \(45\sqrt{3}\).