Решение задачи №23: Трапеция и углы

Задача №23 Дано: \(MNKP\) — трапеция (\(NK \parallel MP\)). \(\angle MNK = 30^\circ\). \(\angle NKP = 135^\circ\). \(KP = 20\). Найти: \(MN / \sqrt{2}\). Решение: 1. Проведем высоты \(NH\) и \(KT\) из вершин верхнего основания \(NK\) к нижнему основанию \(MP\). Так как \(NK \parallel MP\), то \(NH = KT = h\) (высота трапеции). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(KTP\) (\(\angle KTP = 90^\circ\)). Так как \(NK \parallel MP\), сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\). \(\angle TKP = \angle NKP - 90^\circ = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ\). Тогда \(\angle KPT = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, треугольник \(KTP\) — равнобедренный, и высота \(h\) находится через синус угла \(KPT\): \[h = KT = KP \cdot \sin(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MNH\) (\(\angle MHN = 90^\circ\)). Угол \(\angle MNH\) можно найти, зная, что сумма углов при боковой стороне \(MN\) равна \(180^\circ\). Однако нам удобнее использовать угол \(\angle NMH\). Так как \(\angle MNK = 30^\circ\) и \(NK \parallel MP\), то по свойству внутренних односторонних углов: \(\angle NMP = 180^\circ - \angle MNK = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). Это означает, что трапеция тупоугольная при основании \(M\), и высота \(NH\) лежит вне или внутри в зависимости от чертежа. Но проще использовать соотношение в треугольнике через синус угла при вершине \(N\), если рассматривать наклон к основанию. В прямоугольном треугольнике \(MNH\) катет \(NH\) лежит против угла \(\angle NMH\). Из условия \(\angle MNK = 30^\circ\), следовательно, угол между боковой стороной \(MN\) и высотой \(NH\) (внутренний) составит: \(\angle MNH = |90^\circ - \angle MNK| = |90^\circ - 30^\circ| = 60^\circ\). Тогда \(\angle NMH = 30^\circ\). Выразим \(MN\) через высоту \(h\): \[MN = \frac{NH}{\sin(\angle NMH)} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} = \frac{10\sqrt{2}}{1/2} = 20\sqrt{2}\] 4. Вычислим искомое значение: \[\frac{MN}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 20\] Ответ: 20