Решение: Исследование функции y = x³ + x² - 8x + 7

Исследование функций Задание а) Исследовать функцию \( y = x^3 + x^2 - 8x + 7 \) и построить график. 1. Область определения: Так как это многочлен, то \( D(y) = \mathbb{R} \) (все действительные числа). 2. Четность, нечетность: \( y(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 - 8(-x) + 7 = -x^3 + x^2 + 8x + 7 \). Функция не является ни четной, ни нечетной. 3. Точки пересечения с осями: С осью \( Oy \): пусть \( x = 0 \), тогда \( y = 7 \). Точка (0; 7). С осью \( Ox \): \( x^3 + x^2 - 8x + 7 = 0 \). Заметим, что сумма коэффициентов \( 1 + 1 - 8 + 7 = 1 \), значит \( x = 1 \) — корень. Разделив многочлен на \( (x-1) \), получим \( (x-1)(x^2 + 2x - 7) = 0 \). Корни уравнения \( x^2 + 2x - 7 = 0 \): \( x = -1 \pm 2\sqrt{2} \). 4. Экстремумы и промежутки монотонности: Найдем производную: \[ y' = 3x^2 + 2x - 8 \] Приравняем к нулю: \( 3x^2 + 2x - 8 = 0 \). \( D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 \). \( x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \); \( x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = -2 \). Расставим знаки производной: На \( (-\infty; -2) \) \( y' > 0 \) (возрастает); На \( (-2; 4/3) \) \( y' < 0 \) (убывает); На \( (4/3; +\infty) \) \( y' > 0 \) (возрастает). Точка максимума: \( x = -2 \), \( y(-2) = -8 + 4 + 16 + 7 = 19 \). Точка минимума: \( x = 4/3 \), \( y(4/3) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 7 = \frac{64 + 48 - 288 + 189}{27} = \frac{13}{27} \approx 0,48 \). 5. Выпуклость и точки перегиба: Вторая производная: \( y'' = 6x + 2 \). \( 6x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1/3 \). При \( x < -1/3 \) график выпуклый вверх, при \( x > -1/3 \) — вниз. Точка перегиба: \( (-1/3; 9,74) \). --- Задание б) Исследовать функцию \( y = \frac{x^2}{x + 3} \) и построить график. 1. Область определения: Знаменатель не равен нулю: \( x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \). \( D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty) \). 2. Асимптоты: Вертикальная асимптота: \( x = -3 \). Наклонная асимптота \( y = kx + b \): \[ k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x+3)} = 1 \] \[ b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{x+3} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x^2 - 3x}{x+3} = -3 \] Уравнение наклонной асимптоты: \( y = x - 3 \). 3. Экстремумы: Найдем производную: \[ y' = \frac{2x(x+3) - x^2 \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2} \] \( y' = 0 \) при \( x(x+6) = 0 \), то есть \( x = 0 \) и \( x = -6 \). Критическая точка \( x = -3 \) (разрыв). Знаки \( y' \): На \( (-\infty; -6) \) \( y' > 0 \) (возрастает); На \( (-6; -3) \) \( y' < 0 \) (убывает); На \( (-3; 0) \) \( y' < 0 \) (убывает); На \( (0; +\infty) \) \( y' > 0 \) (возрастает). Точка максимума: \( x = -6 \), \( y(-6) = \frac{36}{-3} = -12 \). Точка минимума: \( x = 0 \), \( y(0) = 0 \). 4. Точки пересечения: График проходит через начало координат (0; 0).