Решение уравнения: пошаговый разбор

Решение заданий из проверочной работы. Задание № 1. Решите уравнение: \[ \frac{4x}{x^2 - 4x + 1} + \frac{3x}{x^2 + x + 1} = -1 \] Заметим, что \( x = 0 \) не является корнем уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на \( x \): \[ \frac{4}{x - 4 + \frac{1}{x}} + \frac{3}{x + 1 + \frac{1}{x}} = -1 \] Пусть \( t = x + \frac{1}{x} \). Тогда уравнение примет вид: \[ \frac{4}{t - 4} + \frac{3}{t + 1} = -1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{4(t + 1) + 3(t - 4)}{(t - 4)(t + 1)} = -1 \] \[ 4t + 4 + 3t - 12 = -(t^2 - 3t - 4) \] \[ 7t - 8 = -t^2 + 3t + 4 \] \[ t^2 + 4t - 12 = 0 \] По теореме Виета корни: \( t_1 = -6 \), \( t_2 = 2 \). 1) Если \( x + \frac{1}{x} = -6 \), то \( x^2 + 6x + 1 = 0 \). \[ D = 36 - 4 = 32 \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2} \] 2) Если \( x + \frac{1}{x} = 2 \), то \( x^2 - 2x + 1 = 0 \), откуда \( (x - 1)^2 = 0 \), то есть \( x = 1 \). Ответ: \( -3 \pm 2\sqrt{2}; 1 \). Задание № 2. Решите уравнение: \[ \sqrt{2x + 5} - \sqrt{2x} = 1 \] Перенесем один корень в правую часть: \[ \sqrt{2x + 5} = 1 + \sqrt{2x} \] Возведем обе части в квадрат (при \( x \ge 0 \)): \[ 2x + 5 = 1 + 2\sqrt{2x} + 2x \] \[ 4 = 2\sqrt{2x} \] \[ 2 = \sqrt{2x} \] \[ 4 = 2x \] \[ x = 2 \] Ответ: 2. Задание № 3. Найдите область значений функции \( y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}} \). В ответе укажите наибольшее целое значение функции. Рассмотрим выражение под корнем: \( f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \). Минимальное значение этого выражения равно 1 (при \( x = 2 \)). Тогда минимальное значение знаменателя \( \sqrt{1} = 1 \). Так как знаменатель принимает значения от 1 до \( +\infty \), то дробь \( y \) принимает значения из промежутка \( (0; 1] \). Наибольшее значение функции равно 1. Оно является целым. Ответ: 1. Задание № 4. Пусть \( x \) — процент уценки. Тогда коэффициент снижения цены равен \( k = 1 - \frac{x}{100} \). После двух уценок цена стала: \[ 35000 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2 = 28350 \] \[ (1 - \frac{x}{100})^2 = \frac{28350}{35000} \] \[ (1 - \frac{x}{100})^2 = \frac{2835}{3500} = \frac{81}{100} \] \[ 1 - \frac{x}{100} = \sqrt{0,81} = 0,9 \] \[ \frac{x}{100} = 0,1 \] \[ x = 10 \] Ответ: 10. Задание № 5. Выражение \( (2x^2 - (a + 6)x + 2a^2)^{-2} \) определено, когда основание степени не равно нулю: \[ 2x^2 - (a + 6)x + 2a^2 \neq 0 \] По условию это должно выполняться для всех \( x \), кроме \( x = 2 \). Это значит, что число 2 является единственным корнем квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю. \[ D = (a + 6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2a^2 = a^2 + 12a + 36 - 16a^2 = -15a^2 + 12a + 36 = 0 \] Разделим на -3: \[ 5a^2 - 4a - 12 = 0 \] \[ D_a = 16 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2 \] \[ a_1 = \frac{4 + 16}{10} = 2; \quad a_2 = \frac{4 - 16}{10} = -1,2 \] Проверим, при каком \( a \) корень \( x = 2 \). Корень находится по формуле \( x = \frac{a + 6}{2 \cdot 2} = \frac{a + 6}{4} \). Если \( a = 2 \), то \( x = \frac{2 + 6}{4} = 2 \) (подходит). Если \( a = -1,2 \), то \( x = \frac{-1,2 + 6}{4} = 1,2 \) (не подходит). Ответ: 2.