Решение задачи: Площадь трапеции с заданными основаниями и диагоналями

Решение оставшихся задач из проверочной работы. Задание № 6. Основания трапеции 26 и 8, а диагонали 18 и 20. Найти площадь этой трапеции. Пусть \( a = 26 \), \( b = 8 \) — основания, \( d_1 = 18 \), \( d_2 = 20 \) — диагонали. Для нахождения площади трапеции воспользуемся методом переноса диагонали. Продлим основание \( a \) на длину основания \( b \). Получим треугольник со сторонами \( d_1 \), \( d_2 \) и \( a + b \). Площадь этого треугольника равна площади трапеции. Стороны треугольника: \( 18, 20 \) и \( 26 + 8 = 34 \). Найдем площадь по формуле Герона. Полупериметр: \[ p = \frac{18 + 20 + 34}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] Площадь \( S \): \[ S = \sqrt{p(p - d_1)(p - d_2)(p - (a+b))} \] \[ S = \sqrt{36 \cdot (36 - 18) \cdot (36 - 20) \cdot (36 - 34)} \] \[ S = \sqrt{36 \cdot 18 \cdot 16 \cdot 2} \] \[ S = \sqrt{36 \cdot 36 \cdot 16} = 6 \cdot 6 \cdot 4 = 144 \] Ответ: 144. Задание № 7. В прямоугольнике \( ABCD \) \( AD : AB = 5 : 3 \). На сторонах \( AB, BC, CD, DA \) выбраны точки \( E, F, M, P \) так, что \( AP : PD = 2 : 3 \), а \( EFMP \) — ромб. Найдите отношение площади прямоугольника к площади ромба. Пусть коэффициент пропорциональности сторон прямоугольника равен \( k \). Тогда \( AD = 5k \), \( AB = 3k \). Так как \( AP : PD = 2 : 3 \), то \( AP = 2k \), \( PD = 3k \). Пусть вершины ромба лежат на сторонах прямоугольника. В силу симметрии ромба, вписанного в прямоугольник, его центр совпадает с центром прямоугольника. Тогда \( CM = AP = 2k \), \( MD = BC - CM = 3k \). Аналогично для сторон \( AB \) и \( BC \). Пусть \( AE = x \). Тогда \( EB = 3k - x \). По свойству ромба \( EP = EF \). В прямоугольном треугольнике \( AEP \): \( EP^2 = AE^2 + AP^2 = x^2 + (2k)^2 \). В прямоугольном треугольнике \( EBF \): \( EF^2 = EB^2 + BF^2 \). Из симметрии \( BF = AP = 2k \). \[ x^2 + 4k^2 = (3k - x)^2 + 4k^2 \] \[ x^2 = 9k^2 - 6kx + x^2 \] \[ 6kx = 9k^2 \Rightarrow x = 1,5k \] Площадь ромба \( S_{ромба} \) удобнее найти как разность площади прямоугольника и четырех равных прямоугольных треугольников по углам. Площадь прямоугольника: \( S_{ABCD} = 5k \cdot 3k = 15k^2 \). Площадь одного треугольника (например, \( AEP \)): \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 2k \cdot 1,5k = 1,5k^2 \). Всего 4 таких треугольника: \( 4 \cdot 1,5k^2 = 6k^2 \). Площадь ромба: \( S_{EFMP} = 15k^2 - 6k^2 = 9k^2 \). Отношение площадей: \[ \frac{S_{ABCD}}{S_{EFMP}} = \frac{15k^2}{9k^2} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \] Ответ: \( \frac{5}{3} \).