Решение задания № 5

Решение задания № 5. Условие: При каких значениях параметра \( a \) выражение \( (2x^2 - (a + 6)x + 2a^2)^{-2} \) определено при всех \( x \), кроме 2? 1) Выражение с отрицательной степенью \( (f(x))^{-2} = \frac{1}{(f(x))^2} \) определено тогда и только тогда, когда его основание не равно нулю: \[ 2x^2 - (a + 6)x + 2a^2 \neq 0 \] 2) По условию, это условие должно нарушаться только в одной точке \( x = 2 \). Это означает, что число 2 является единственным корнем квадратного уравнения: \[ 2x^2 - (a + 6)x + 2a^2 = 0 \] 3) Квадратное уравнение имеет ровно один корень, когда его дискриминант \( D \) равен нулю: \[ D = (-(a + 6))^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2a^2 = 0 \] \[ (a + 6)^2 - 16a^2 = 0 \] \[ a^2 + 12a + 36 - 16a^2 = 0 \] \[ -15a^2 + 12a + 36 = 0 \] Разделим обе части на -3: \[ 5a^2 - 4a - 12 = 0 \] 4) Решим полученное уравнение относительно \( a \): \[ D_a = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2 \] \[ a_1 = \frac{4 + 16}{10} = 2 \] \[ a_2 = \frac{4 - 16}{10} = -1,2 \] 5) Проверим, при каком из этих значений \( a \) единственным корнем будет именно \( x = 2 \). Единственный корень квадратного уравнения вычисляется по формуле \( x = \frac{-b}{2a_{coeff}} \): \[ x = \frac{a + 6}{2 \cdot 2} = \frac{a + 6}{4} \] Если \( a = 2 \), то \( x = \frac{2 + 6}{4} = \frac{8}{4} = 2 \). (Подходит) Если \( a = -1,2 \), то \( x = \frac{-1,2 + 6}{4} = \frac{4,8}{4} = 1,2 \). (Не подходит) Ответ: 2.