Решение: Собственные Значения и Векторы Матрицы

Задача №10. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы \[ A = \begin{pmatrix} 6 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \] Решение: 1. Найдем собственные значения матрицы из характеристического уравнения \( \det(A - \lambda E) = 0 \): \[ \begin{vmatrix} 6-\lambda & 1 & -1 \\ 2 & 5-\lambda & -2 \\ 1 & -1 & 4-\lambda \end{vmatrix} = 0 \] Раскроем определитель по первой строке: \[ (6-\lambda) \begin{vmatrix} 5-\lambda & -2 \\ -1 & 4-\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 4-\lambda \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & 5-\lambda \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \] \[ (6-\lambda)((5-\lambda)(4-\lambda) - 2) - (2(4-\lambda) + 2) - (-2 - (5-\lambda)) = 0 \] \[ (6-\lambda)(\lambda^2 - 9\lambda + 18) - (10 - 2\lambda) - (\lambda - 7) = 0 \] \[ (6-\lambda)(\lambda-6)(\lambda-3) + 2\lambda - 10 - \lambda + 7 = 0 \] \[ -(\lambda-6)^2(\lambda-3) + (\lambda - 3) = 0 \] Вынесем \( (\lambda-3) \) за скобки: \[ (\lambda-3)(1 - (\lambda-6)^2) = 0 \] \[ (\lambda-3)(1 - (\lambda^2 - 12\lambda + 36)) = 0 \] \[ (\lambda-3)(-\lambda^2 + 12\lambda - 35) = 0 \] \[ -(\lambda-3)(\lambda-5)(\lambda-7) = 0 \] Собственные значения: \[ \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 5, \quad \lambda_3 = 7 \] 2. Найдем собственные векторы для каждого \( \lambda \). Для \( \lambda_1 = 3 \): \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Из второй строки: \( x_1 + x_2 - x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = x_1 + x_2 \). Подставим в третью: \( x_1 - x_2 + (x_1 + x_2) = 0 \Rightarrow 2x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \). Тогда \( x_3 = x_2 \). Пусть \( x_2 = 1 \). Собственный вектор \( \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). Для \( \lambda_2 = 5 \): \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Из второй строки: \( 2x_1 - 2x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = x_3 \). Из первой строки: \( x_1 + x_2 - x_1 = 0 \Rightarrow x_2 = 0 \). Пусть \( x_1 = 1 \), тогда \( x_3 = 1 \). Собственный вектор \( \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \). Для \( \lambda_3 = 7 \): \[ \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Сложим первую и третью строки: \( -4x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 0 \). Тогда из первой строки: \( -x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 \). Пусть \( x_1 = 1 \), тогда \( x_2 = 1 \). Собственный вектор \( \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Ответ: Собственные значения: \( \lambda_1 = 3, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = 7 \). Собственные векторы: \( \vec{v}_1 = (0, 1, 1)^T, \vec{v}_2 = (1, 0, 1)^T, \vec{v}_3 = (1, 1, 0)^T \).