Решение: Закон Кулона и напряженность электрического поля

Ниже представлены краткие и удобные для переписывания ответы на первые три вопроса из вашего списка. Вопрос 1. Закон Кулона и напряженность электрического поля. Закон Кулона: Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. \[ F = k \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2} \] где \( k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \) Н·м²/Кл². Напряженность электрического поля \( \vec{E} \) — это векторная физическая величина, равная отношению силы, действующей на пробный заряд, к величине этого заряда: \[ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \] Для точечного заряда: \[ E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \] Для системы зарядов (принцип суперпозиции): \[ \vec{E} = \sum \vec{E}_i \] Для непрерывного распределения зарядов используется интеграл по объему \( V \), площади \( S \) или длине \( l \). Вопрос 2. Теорема Гаусса. Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду внутри этой поверхности. Интегральная форма: \[ \oint_S \vec{E} d\vec{S} = \frac{Q_{внутр}}{\varepsilon_0} \] Дифференциальная форма (через дивергенцию): \[ \text{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \] где \( \rho \) — объемная плотность заряда. Дивергенция (\( \text{div} \)) характеризует плотность источников поля в данной точке. Применение: Теорема Гаусса позволяет легко находить напряженность полей симметричных тел (сферы, плоскости, цилиндра). Вопрос 3. Электрический потенциал и уравнения Пуассона/Лапласа. Электрический потенциал \( \varphi \) — скалярная энергетическая характеристика поля. Работа по перемещению заряда: \( A = q(\varphi_1 - \varphi_2) \). Связь напряженности с потенциалом: \[ \vec{E} = -\text{grad} \varphi = -\nabla \varphi \] Напряженность направлена в сторону быстрейшего убывания потенциала. Уравнение Пуассона (описывает потенциал в области с зарядами): \[ \Delta \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \] где \( \Delta \) — оператор Лапласа (лапласиан). Уравнение Лапласа (описывает потенциал в области, где заряды отсутствуют, т.е. \( \rho = 0 \)): \[ \Delta \varphi = 0 \]