Решение интегралов с подведением под знак дифференциала

Ниже представлено решение трех интегралов с изображения, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. \[ \int (2x - 3)^3 dx \] Для решения воспользуемся методом подведения под знак дифференциала. Так как \( d(2x - 3) = 2 dx \), то \( dx = \frac{1}{2} d(2x - 3) \). \[ \int (2x - 3)^3 dx = \frac{1}{2} \int (2x - 3)^3 d(2x - 3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 3)^4}{4} + C = \frac{(2x - 3)^4}{8} + C \] Ответ: \( \frac{(2x - 3)^4}{8} + C \) Задание 2. \[ \int \frac{dx}{\sqrt{6 - 5x}} \] Представим корень в виде степени: \( (6 - 5x)^{-\frac{1}{2}} \). Подведем под знак дифференциала: \( d(6 - 5x) = -5 dx \), значит \( dx = -\frac{1}{5} d(6 - 5x) \). \[ \int (6 - 5x)^{-\frac{1}{2}} dx = -\frac{1}{5} \int (6 - 5x)^{-\frac{1}{2}} d(6 - 5x) = -\frac{1}{5} \cdot \frac{(6 - 5x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{5} \sqrt{6 - 5x} + C \] Ответ: \( -\frac{2}{5} \sqrt{6 - 5x} + C \) Задание 3. \[ \int \frac{x dx}{\sqrt[3]{1 + x^2}} \] Заметим, что \( d(1 + x^2) = 2x dx \), следовательно \( x dx = \frac{1}{2} d(1 + x^2) \). \[ \int (1 + x^2)^{-\frac{1}{3}} \cdot x dx = \frac{1}{2} \int (1 + x^2)^{-\frac{1}{3}} d(1 + x^2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1 + x^2)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} (1 + x^2)^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{4} \sqrt[3]{(1 + x^2)^2} + C \] Ответ: \( \frac{3}{4} \sqrt[3]{(1 + x^2)^2} + C \)