Решение задачи: Нахождение cos(α-β)

Задача №4 Дано: \[ \text{tg} \alpha = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}, \quad \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \] \[ \cos \beta = -\frac{24}{25}, \quad \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \] Найти: \[ \cos(\alpha - \beta) \] Решение: 1. Воспользуемся формулой косинуса разности: \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \] 2. Найдем \(\cos \alpha\) и \(\sin \alpha\). Так как \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) (III четверть), то \(\sin \alpha < 0\) и \(\cos \alpha < 0\). Используем связь тангенса и косинуса: \[ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] \[ 1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{9}{25} \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{3}{5} \] Теперь найдем \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5} \] 3. Найдем \(\sin \beta\). Так как \(\frac{\pi}{2} < \beta < \pi\) (II четверть), то \(\sin \beta > 0\). \[ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \] \[ \sin^2 \beta = 1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \] \[ \sin \beta = \sqrt{\frac{49}{625}} = \frac{7}{25} \] 4. Подставим все значения в формулу косинуса разности: \[ \cos(\alpha - \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{7}{25} \] \[ \cos(\alpha - \beta) = \frac{72}{125} - \frac{28}{125} = \frac{44}{125} \] Для перевода в десятичную дробь умножим числитель и знаменатель на 8: \[ \frac{44 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{352}{1000} = 0,352 \] Ответ: 0,352.