Решение задачи: Найти cos(α + β)

Дано: \[ \sin \beta = \frac{20}{29}, \quad \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \] \[ \cos \alpha = -0,8, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \] Найти: \[ \cos(\alpha + \beta) \] Решение: 1. Воспользуемся формулой косинуса суммы: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] 2. Найдем \(\sin \alpha\). Так как \(\alpha\) находится во второй четверти (\(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)), синус там положителен: \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6 \] 3. Найдем \(\cos \beta\). Так как \(\beta\) находится во второй четверти (\(\frac{\pi}{2} < \beta < \pi\)), косинус там отрицателен: \[ \cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - \left(\frac{20}{29}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{400}{841}} = -\sqrt{\frac{841 - 400}{841}} = -\sqrt{\frac{441}{841}} = -\frac{21}{29} \] 4. Подставим все значения в формулу косинуса суммы: \[ \cos(\alpha + \beta) = (-0,8) \cdot \left(-\frac{21}{29}\right) - 0,6 \cdot \frac{20}{29} \] Переведем десятичные дроби в обыкновенные для удобства счета: \[ -0,8 = -\frac{4}{5}, \quad 0,6 = \frac{3}{5} \] \[ \cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{21}{29}\right) - \frac{3}{5} \cdot \frac{20}{29} \] \[ \cos(\alpha + \beta) = \frac{84}{145} - \frac{60}{145} = \frac{24}{145} \] Ответ: \(\frac{24}{145}\)